AcWing 894. 拆分-Nim游戏

$AcWing$ $894$. 拆分-$Nim$游戏

一、题目描述

给定 $n$ 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆 规模更小 的石子（新堆规模可以为 $0$，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数，其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 堆石子的数量 $a_i$。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
$1≤n,a_i≤100$

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

二、解题思路

相比于集合-$Nim$，这里的每一堆可以变成不大于原来那堆的任意大小的两堆。

即$a[i]$可以拆分成$(b[i],b[j])$,为了避免重复规定$b[i]>=b[j]$,即：$a[i]>b[i]>=b[j]$

相当于一个局面拆分成了两个局面，由$SG$函数理论:多个独立局面的$SG$值，等于这些局面$SG$值的 异或和。

因此需要存储的状态就是$sg(b[i])$^$sg(b[j])$（与集合-$Nim$的唯一区别）。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;

int n;
int f[N];
int res;

int sg(int x) {
    if (~f[x]) return f[x];
    unordered_set<int> S;
    
    // 所有能到的局面
    for (int i = 0; i < x; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));

    for (int i = 0;; i++)
        if (!S.count(i)) return f[x] = i;
}

int main() {
    // 初始化
    memset(f, -1, sizeof f);
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    if (res)
        puts("Yes");
    else
        puts("No");
    return 0;
}