AcWing 893. 集合-Nim游戏

\(AcWing\) \(893\). 集合-\(Nim\)游戏

一、题目描述

给定 \(n\) 堆石子以及一个由 \(k\) 个不同正整数构成的数字集合 \(S\)。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 \(S\)，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 \(k\)，表示数字集合 \(S\) 中数字的个数。

第二行包含 \(k\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示数字集合 \(S\) 中的第 \(i\) 个数 \(s_i\)。

第三行包含整数 \(n\)。

第四行包含 \(n\) 个整数，其中第 \(i\) 个整数表示第 \(i\) 堆石子的数量 \(h_i\)。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
\(1≤n,k≤100,1≤s_i,h_i≤10000\)

输入样例：

2
2 5
3
2 4 7

输出样例：

Yes

二、理论知识

理解题意：
集合\(S\)中有两个数(\(k=2\)),分别是\(2\)和\(5\)。也就是拿一次不是任意个，是必须\(2\)或\(5\)个。
有\(3\)堆石子，个数分别是\(2,4,7\)。问我们是先手必胜还是先手必败。

• \(mex\)函数

  对于集合\(S\),\(mex(S)=mex(\{x_1,x_2…\})\)表示\(S\)中没有出现的最小非负整数。

  例如:\(S=\{0,1,2,4\}\),那么\(mex(S)=3\)。

• \(sg\)函数
  \(sg(n)=mex(\{sg(i_1),sg(i_2),sg(i_3)...\})\)。 \(n\)为结点；\(i_1,i_2,i_3\)…是\(n\)的后继结点。

• 规定
  \(sg(G)=sg(head)\)。 \(G\)是一个有向图,\(head\)是\(G\)的头结点。

• 结论
  \(sg(G1)\) ^ \(sg(G2)\) ^ \(sg(G3)\) ^ \(…\) ^ \(sg(Gn)\)为\(n\)个有向图的异或和,对于\(n\)个有向图游戏,这个异或和就是它的答案。

三、实例解析

\(SG\)函数是解决博弈论问题的一把利器。

四、\(SG\)函数复用的原因

五、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
const int M = 10010;

int n, k;
int a[N]; // 一共几种取法，比如一次取2个或5个。
int f[M]; // SG函数的值
int res;

int sg(int x) {
    if (~f[x]) return f[x]; // 记忆化搜索

    unordered_set<int> S;
    for (int i = 0; i < k; i++)
        if (x >= a[i]) S.insert(sg(x - a[i])); // x-s[i]:x的可行路径中终点有哪几个; sg(x-s[i]):这个终点它的sg值

    for (int i = 0;; i++)
        if (!S.count(i)) return f[x] = i;
}

int main() {
    memset(f, -1, sizeof f); // 初始化数组值为-1
    cin >> k;                // 表示数字集合S中数字的个数
    for (int i = 0; i < k; i++) cin >> a[i];

    cin >> n; // 一共几堆
    // n堆石子，每堆石子都取SG值，然后异或在一起
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x; // 每堆里多少个
        res ^= sg(x);
    }
    if (res)
        puts("Yes"); // 如果不是零，必胜
    else
        puts("No"); // 如果是零，必败

    return 0;
}