AcWing 891. Nim游戏

$AcWing$ $891$. $Nim$游戏

一、题目描述

给定$n$堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个数字，其中第 $i$ 个数字表示第 $i$ 堆石子的数量。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
$1≤n≤10^5,1≤每堆石子数≤10^9$

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

二、历史与传说

据说，它源自中国，经由被贩卖到美洲的奴工们外传。辛苦的工人们，在工作闲暇之余，用石头玩游戏以排遣寂寞。后来流传到高级人士，则用便士（$Pennies$），在酒吧柜台上玩。

最有名的玩法，是把十二枚便士放成$3、4、5$三列，拿光铜板的人赢。

后来，大家发现，先取的人只要在$3$那列里取走$2$枚，变成了$1、4、5$，就能稳操胜券了，游戏也就变得无趣了。

于是大家就增加列数，增加铜板的数量，这样就让人们有了毫无规律的感觉，不易于把握。

三、博弈论结论

在两名选手都足够聪明，每一步都是最优解的情况下：

$a_1$ ^ $a_2$ ^ ... ^$a_n=0$ 先手必败
$a_1$ ^ $a_2$ ^ ... ^$a_n\neq0$ 先手必胜
就是把所有堆的石子个数异或起来，结果是零，先手必败，不是零，先手必胜。

四、证明过程

1、结论$1$

操作到最后时，每堆石子数都是$0$，有$0$ ^ $0$ ^ $…0=0$

2、结论$2$

在操作过程中，如果 $a_1 ∧ a_2 ∧ … ∧ a_n=x≠0$。那么玩家必然可以通过拿走某一堆若干个石子将异或结果变为$0$。

证明：

• 不妨设结果$x$的二进制表示中最高一位$1$在第$k$位
• 那么在$a_1,a_2,…,a_n$中，必然有一个数$a_i$，它的第$k$位是$1$(要不那个$1$从哪里来的？)，且$a_i ∧ x<a_i$:
• 让第$i$堆石子保留$a_i ∧ x$个：即从第$i$堆石子中拿走$a_i−(a_i ∧ x)$个石子
• 此时新状态的异或和：
  $$\large a_1 ∧ a_2 ∧ … ∧ a_{i^{'}} ∧ … a_n \\ =a_1 ∧ a_2 ∧ … ∧(a_i ∧ x) ∧ a_n \\ =a_1 ∧ a_2 ∧ … ∧a_i ∧... ∧ a_n ∧ x \\ =x ∧ x =0$$

证毕

解释：也就是说，不管给我啥样的情况，我都能找出一种办法，使得一次拿取后满足异或和为$0$。

其实，我们也并不非得要找到某个有明显特征（指$x$的最高位$1$在第$k$位，而$a_i$的第$k$位是$1$）的$a_i$,更通用的作法是

for (int i = 0; i < n; i++) {
    if((a[i] ^ x) < a[i]){
      1. 拿走 a[i]-(a[i] ^ x)个
      2. 剩下 a[i] ^ x个
    }
}

这样的话，我们也就可以求出有多少种拿法，并且知道每种拿法是拿走多少，剩下多少。

3、结论$3$

在操作过程中，如果 $a_1 ∧ a_2 ∧ …∧ a_n=0$，那么无论玩家怎么拿，必然会导致最终异或结果不为$0$

反证法：假设玩家从第$i$堆石子拿走若干个，结果仍是$0$。不妨设还剩下$a_i^{′}$个，因为不能$1$个都不拿，所以$0≤a_i^{′}<a_i$，且$a_1 ∧ a_2∧…∧a_i^{′}∧…∧a_n=0$。

进行构造

$$(a_1 ∧ a_2∧…∧a_i∧…a_n)∧(a_1∧a_2∧…∧a_i^{′}∧…∧a_n)$$

整体构造完式子后，利用异或运算的 结合律 性质，让

$$a_1 ∧ a_1=0,a_2 ∧ a_2=0,a_3 ∧ a_3=0,...$$

$$\large \Rightarrow a_i∧a^{′}=0$$

则 $a_i=a′$，与假设$0≤a′<a_i$矛盾。

证毕

基于上述三个结论：

1. 如果先手面对的局面是$x=a_1∧a_2∧…∧a_n≠0$，那么先手总可以通过拿走某一堆若干个石子($a_i ∧ x$个)，将局面变成$a_1∧a_2∧…∧a_n=0$。如此重复，最后一定是后手面临最终没有石子可拿的状态。先手必胜。
   
   
2. 如果先手面对的局面是$a_1∧a_2∧…∧a_n=0$，那么无论先手怎么拿，都会将局面变成$a_1∧a_2∧…∧a_n≠0$，那么后手总可以通过拿走某一堆若干个石子，将局面变成$a_1∧a_2∧…∧a_n=0$。如此重复，最后一定是先手面临最终没有石子可拿的状态,先手必败。

五、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    int res = 0; // 起始值是0,因为任何数与0进行异或都它本身
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= x;
    }
    if (res)
        puts("Yes"); // 异或值非零，必胜
    else
        puts("No"); // 异或值是零，必败
    return 0;
}