AcWing 890. 能被整除的数

$AcWing$ $890$. 能被整除的数

一、题目描述

给定一个整数 $n$ 和 $m$ 个不同的质数 $p_1,p_2,…,p_m$。

请你求出 $1$∼$n$ 中能被 $p_1,p_2,…,p_m$ 中的 至少一个数整除的整数 有多少个。

输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $m$ 个质数。

输出格式
输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。

数据范围
$1≤m≤16,1≤n,p_i≤10^9$

输入样例：

10 2
2 3

输出样例：

7

二、理论知识

韦恩图（又称文氏图）

（1）两个圆相交求面积

$$\large S=S_1+S_2-S_1\cap S_2$$

（2）三个圆相交求面积

$$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$$

（3）四个圆相交求面积

$$\large S=S_1+S_2 + S_3 + S_4 -S_1\cap S_2 -S_1\cap S_3 -S_1\cap S_4 - S_2\cap S_3 -S_2\cap S_4 -S_3\cap S_4 + S_1\cap S_2 \cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_4+ S_2\cap S_3 \cap S_4 ++ S_1\cap S_3 \cap S_4 - S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cap S_4$$

上面，我们是用面积来考虑的问题，所以等式左边写的是$S$，也可以用集合来考虑，以$3$个圆为例，那就是
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| =|S_1|+|S_2|+|S_3|- |S_1\cap S_2| -|S_2\cap S_3| - |S_1\cap S_3| + |S_1\cap S_2 \cap S_3|$

其中$||$代表集合中的元素个数。

（4）规律总结

上面的求解过程，其实是在求 $C_n^1 - C_n^2+ ... + {(-1)}^{n-1}C_n^n$，
也就理解为从$n$个选择1个，减去从$n$中选择$2$个，加上从$n$中选择$3$个，减去从$n$中减去$4$个...,也可以记为奇数个元素的集合是加，偶数个的（指相交）的集合是减。

（5）经典例题

容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目:

• $20$人喜欢数学，$10$人喜欢语文，$11$人喜欢英语;
• $3$人同时喜欢数学语文，$3$人同时喜欢语文英语，$4$人同时喜欢数学英语
• $2$人都喜欢
  问全班有多少人？

根据容斥原理，就是$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$

班级人数=$20+10+11-3-3-4+2=33$

三、本题思路

数学表达式
比如三个质数是$2，3，5$，$S_2$代表$2$的倍数集合，$S_3$代表$3$的倍数集合，$S_5$代表$5$的倍数集合，至少能被其中一个质数整除的总个数就是：

$|S_2 \cup S_3 \cup S_5| = |S_2| + |S_3| +|S_5| -|S_2 \cap S_3| -|S_3 \cap S_5| -|S_2 \cap S_5|+|S_2 \cap S_3 \cap S_5|$

解释：上面表示式中$|S_2|$代表的是: $2$的倍数集合的数字个数

• $Q1$:如何计算$|S_p|$这样的表达式数值?
  $|S_p|$:计算小于等于$n$中能整除掉$p$的数字个数 $\huge \lfloor \frac{n}{p} \rfloor$,$C++$默认就是下取整，不用再特殊处理。

• $Q2$:如何计算$|S_2 \cap S_3|$这样的表达式值?
  题目给定的$p_i$都是质数，所以能被$2$整除，也能被$3$整除的数，肯定是能被$6$整除的数，所以就是 $|S_6|=|S_2 \cap S_3|$,这样，问题就转化成了问题$|S_p|$，也就会求解了！

• $Q3$:怎么把这些子项目都罗列出来?
  其实罗列的是$p[i]$的所有组合方式！举个栗子： $\{2\},\{3\},\{5\},\{2,3\},\{3,5\},\{2,5\},\{2,3,5\}$共$7$种,也就是$2^3-1=7$种。

常用技巧:二进制数位枚举

举个栗子：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"

int n, m;      // n:质数个数，m:1~m的数字中有多少个可以被质数序列中至少一个整数整除。
               // 注意：代码里的n,m与模板题目中的含义相反！一定要注意!!!!!!!!!!!!
vector<int> p; // 质数数组

signed main() {
    cin >> m >> n; // 与m互质,n个质数！

    // 读入n个质数,为了使用vector<int>，读入时确实不太方便
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        p.push_back(x);
    }

    // ① 枚举从1到 2^n-1,每个数字，代表一种状态，每个状态代表一种质数的挑选办法
    // 当然，这些整数值的乘积可能大于n,大于的没用，只要小于等于n的
    int s = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << p.size(); i++) {
        int t = 1, cnt = 0; // 累乘积，质因子个数
        // ② 在对应的整数值确定后，枚举此数值的每一个数位
        for (int j = 0; j < p.size(); j++)
            if (i >> j & 1) {       // ③判断当前数位是不是1,是1表示当前数位选中
                if (t * p[j] > m) { // 乘积不能超过最大值m，控制在[1~m]范围内
                    t = 0;          // s=0代表本次挑选的组合失败，无效
                    break;          // 由于i是由小到大遍历的，前面的都无效了，后面的肯定更大，更无效，不用继续了
                }
                cnt++;     // 选择的质因子个数
                t *= p[j]; // 累乘积
            }
        if (t) {            // 超过范围的，s=0,所以，现在代表只讨论在范围内的
            if (cnt & 1)    // 质数因子数量，奇数加
                s += m / t; // 引理内容，代表m里面有多少个这个数字s的倍数
            else            // 偶数减
                s -= m / t;
        }
    }
    cout << s << endl;
}