AcWing 890. 能被整除的数
\(AcWing\) \(890\). 能被整除的数
一、题目描述
给定一个整数 \(n\) 和 \(m\) 个不同的质数 \(p_1,p_2,…,p_m\)。
请你求出 \(1\)∼\(n\) 中能被 \(p_1,p_2,…,p_m\) 中的 至少一个数整除的整数 有多少个。
输入格式
第一行包含整数 \(n\) 和 \(m\)。
第二行包含 \(m\) 个质数。
输出格式
输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。
数据范围
\(1≤m≤16,1≤n,p_i≤10^9\)
输入样例：
10 2
2 3
输出样例：
7
二、理论知识
韦恩图（又称文氏图）
（1）两个圆相交求面积
（2）三个圆相交求面积
（3）四个圆相交求面积
上面，我们是用面积来考虑的问题，所以等式左边写的是\(S\)，也可以用集合来考虑，以\(3\)个圆为例，那就是
\(|S_1 \cup S_2 \cup S_3| =|S_1|+|S_2|+|S_3|- |S_1\cap S_2| -|S_2\cap S_3| - |S_1\cap S_3| + |S_1\cap S_2 \cap S_3|\)
其中\(||\)代表集合中的元素个数。
（4）规律总结
上面的求解过程，其实是在求 \(C_n^1 - C_n^2+ ... + {(-1)}^{n-1}C_n^n\)，
也就理解为从\(n\)个选择1个，减去从\(n\)中选择\(2\)个，加上从\(n\)中选择\(3\)个，减去从\(n\)中减去\(4\)个...,也可以记为奇数个元素的集合是加，偶数个的（指相交）的集合是减。
（5）经典例题
容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目:
- \(20\)人喜欢数学，\(10\)人喜欢语文，\(11\)人喜欢英语;
- \(3\)人同时喜欢数学语文，\(3\)人同时喜欢语文英语，\(4\)人同时喜欢数学英语
- \(2\)人都喜欢
问全班有多少人？
根据容斥原理，就是\(\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3\)
班级人数=\(20+10+11-3-3-4+2=33\)
三、本题思路
数学表达式
比如三个质数是\(2，3，5\)，\(S_2\)代表\(2\)的倍数集合，\(S_3\)代表\(3\)的倍数集合，\(S_5\)代表\(5\)的倍数集合，至少能被其中一个质数整除的总个数就是：
\(|S_2 \cup S_3 \cup S_5| = |S_2| + |S_3| +|S_5| -|S_2 \cap S_3| -|S_3 \cap S_5| -|S_2 \cap S_5|+|S_2 \cap S_3 \cap S_5|\)
解释：上面表示式中\(|S_2|\)代表的是: \(2\)的倍数集合的数字个数
-
\(Q1\):如何计算\(|S_p|\)这样的表达式数值?
\(|S_p|\):计算小于等于\(n\)中能整除掉\(p\)的数字个数 \(\huge \lfloor \frac{n}{p} \rfloor\),\(C++\)默认就是下取整，不用再特殊处理。 -
\(Q2\):如何计算\(|S_2 \cap S_3|\)这样的表达式值?
题目给定的\(p_i\)都是质数，所以能被\(2\)整除，也能被\(3\)整除的数，肯定是能被\(6\)整除的数，所以就是 \(|S_6|=|S_2 \cap S_3|\),这样，问题就转化成了问题\(|S_p|\)，也就会求解了！ -
\(Q3\):怎么把这些子项目都罗列出来?
其实罗列的是\(p[i]\)的所有组合方式！举个栗子： \(\{2\},\{3\},\{5\},\{2,3\},\{3,5\},\{2,5\},\{2,3,5\}\)共\(7\)种,也就是\(2^3-1=7\)种。
常用技巧:二进制数位枚举
举个栗子：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
int n, m; // n:质数个数，m:1~m的数字中有多少个可以被质数序列中至少一个整数整除。
// 注意：代码里的n,m与模板题目中的含义相反！一定要注意!!!!!!!!!!!!
vector<int> p; // 质数数组
signed main() {
cin >> m >> n; // 与m互质,n个质数！
// 读入n个质数,为了使用vector<int>，读入时确实不太方便
for (int i = 0; i < n; i++) {
int x;
cin >> x;
p.push_back(x);
}
// ① 枚举从1到 2^n-1,每个数字，代表一种状态，每个状态代表一种质数的挑选办法
// 当然，这些整数值的乘积可能大于n,大于的没用，只要小于等于n的
int s = 0;
for (int i = 1; i < 1 << p.size(); i++) {
int t = 1, cnt = 0; // 累乘积，质因子个数
// ② 在对应的整数值确定后，枚举此数值的每一个数位
for (int j = 0; j < p.size(); j++)
if (i >> j & 1) { // ③判断当前数位是不是1,是1表示当前数位选中
if (t * p[j] > m) { // 乘积不能超过最大值m，控制在[1~m]范围内
t = 0; // s=0代表本次挑选的组合失败，无效
break; // 由于i是由小到大遍历的，前面的都无效了，后面的肯定更大，更无效，不用继续了
}
cnt++; // 选择的质因子个数
t *= p[j]; // 累乘积
}
if (t) { // 超过范围的，s=0,所以，现在代表只讨论在范围内的
if (cnt & 1) // 质数因子数量，奇数加
s += m / t; // 引理内容，代表m里面有多少个这个数字s的倍数
else // 偶数减
s -= m / t;
}
}
cout << s << endl;
}
