欧几里得定理专题

一、欧几里得定理

1. 同余定理

$(a+b)\ \%\ mod=(a\ \%\ mod+b\ \%\ mod)\ \%\ mod$

$(a-b)\ \%\ mod=(a\ \%\ mod-b\ \%\ mod)\ \%\ mod$

$(a*b)\ \%\ mod=(a\ \%\ mod*b\ \%\ mod)\ \%\ mod$

注意:除法没有同余的性质，需要求逆元。

2. 欧几里得定理

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

3. 欧几里得定理用法

(1) 求最大公约数

    //最大公约数，辗转相除法
  int gcd(int a, int b) {
      if (b == 0) return a;
      return gcd(b, a % b);
  }

(2) 求最小公倍数

  //最小公倍数
  int lcm(int a, int b) {
      return a * b / gcd(a, b);
  }

二、扩展欧几里得定理

1. 定义

$ax+by=gcd(a,b)$，在已知$a,b$的情况下求解出一组$x_0,y_0$(特解)。

2. 推导过程

$ax+by=gcd(a,b)$ $①$

根据欧几里得定理，有:
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ $②$

用$b$代替$a$的位置，用$a\%b$代替$b$的位置，得到：

$bx_1+(a\%b)y_1=gcd(a,b)$ $③$

因为$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor * b$ ,代入方程$③$,得到：

$bx_1+(a-a/b *b)y_1=gcd(a,b)$

变形

$ay_1+b(x_1-a/b)y_1=gcd(a,b)$ $④$

与方程$①$对比系数，得到

$x=y_1,y=x_1-a/b*y_1$

这就是扩展欧几里得算法中关键代码的由来。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
    if (b == 0) {
      x = 1, y = 0;
      return a;
    }
    int x1, y1, gcd;
    gcd = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return gcd;
}

简化一下：

//yxc写法
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

3.性质

1. 若通过扩展欧几里得求出一组特解($x_0$,$y_0$)，那么有$ax_0+by_0=d$。
   则方程的通解为: 其中$k$为任意整数,$d=gcd(a,b)$

   $x=x_0+k*(b/d)$

   $y=y_0-k*(a/d)$

2. 已知$ax+by=d$的解，对于$ax+by=c$的解，$c$为任意正整数，只有当$d|c$时才有解,
   则方程的通解为: 其中$k$为任意整数,$d=gcd(a,b)$

   $x=(c/d)x_0+k(b/d)$

   $y=(c/d)y_0-k(a/d)$

4.常见用法

（1）求形如$ax+by=c$的通解，或从中选取某些特解。
（2）求乘法逆元
（3）求解线性同余方程(组)

5.解题思路

1. 先将问题转化成不定方程$ax+by=c$

2. $a,b$参数取正数，判断$a,b$是否为负数，为负数就$a,b,c$都乘上$-1$，另外注意若$a,b$中只有一个是负数，那另一个不需要乘$-1$，因为$a,b$本身是含未知数参数的。

3. $d=exgcd(a,b,x_0,y_0)$,然后判断是否有解采用$if(c\%d==0)$

4. 求特解：$x_1=x_0*c/d$, $y_1=y_0*c/d$;

5. 求通解：$x=x_1 + b/d*t$ , $y=y_1-a/d*t$ （其中 $t$ 为整数）

6. 求最小解：$int\ s=b/d$; $x_{min}= (x_1\%s+s)\%s$;

6.例题实例

问题描述：对于 $ax+by=c$ 的不定方程求通解或特解？

设 $d=gcd(a,b)$，

若 $c\%d!=0$ 此方程无整数解

若 $c\%d==0$，

特解:

$x_1=x_0*c/d$ , $y_1=y_0*c/d$

通解:
$x=x_1+b/d*t$ , $y=y_1-a/d*t$ （其中 $t$ 为整数）

最小解：

$d=exgcd(a,b,x_0,y_0);$

$x_1=x_0*c/d;$

$int\ s=b/d;$

$x_{min}= (x_1\%s+s)\%s;$

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