AcWing 878. 线性同余方程
\(AcWing\) \(878\). 线性同余方程
一、题目描述
给定 \(n\) 组数据 \(a_i,b_i,m_i\)，对于每组数求出一个 \(x_i\)，使其满足 \(a_i×x_i≡b_i(mod \ m_i)\)，如果无解则输出 impossible。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一组数据 \(a_i,b_i,m_i\)。
输出格式
输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 \(x_i\)，如果无解则输出 impossible。
每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。
输出答案必须在 \(int\) 范围之内。
数据范围
\(1≤n≤10^5,1≤a_i,b_i,mi≤2×10^9\)
输入样例：
2
2 3 6
4 3 5
输出样例：
impossible
-3
二、线性同余方程
【扩展欧几里得算法的一个典型应用】
\(ax\equiv\ b(mod\ m)\)
举个栗子：
\(2x \equiv 3 (mod\ 6)\)
\(x=1,2x=2,2\%6=2\)
\(x=2,2x=4,4\%6=4\)
\(x=3,2x=6,6\%6=0\)
\(x=4,2x=8,8\%6=2\)
\(x=5,2x=10,10\%6=4\)
\(x=6,2x=12,12\%6=0\)
...
余数开始循环了，一直都是\(2,4,0\)...
不会产生\(3\)这个余数，所以，无解。
再来一个栗子：
\(4x\equiv\ 3 (mod\ 5)\)
\(x=1,4x=4, 4\%5 =4\)
\(x=2,4x=8, 8\%5 =3\)
\(x=3,4x=12, 12\%5 =2\)
\(x=4,4x=16, 16\%5 =1\)
\(x=5,4x=20, 20\%5 =0\)
\(x=6,4x=24, 24\%5 =4\)
\(x=7,4x=28, 28\%5 =3\)
\(x=8,4x=32, 32\%5 =2\)
\(x=9,4x=36, 36\%5 =1\)
\(x=10,4x=40, 40\%5 =0\)
....
所以有解，其它第一个解是 \(x=2\),第二个解是\(7\)。
这两个解之间差了一个\(5\)，即\(2+5=7\)，每加一个\(5\)，都可以得到一个解。比如 \(7+5=12\)也是一个解。
2、为什么线性同余方程可以使用欧几里得算法来求解呢？
- \(a∗x\equiv b (mod\ m)\) 表示意义 是\((a*x) \% m=b\),从而\((a∗x−b)\%m=0\) 。
假设是\(y_1\)倍，因此线性同余方程转化为 \(a∗x-b=m∗y_1\) ， 移项： \(a*x-m*y_1=b\)。令 \(-y_1=y\) ,则: \(a * x + m * y = b\) ,这就是一个标准的二元一次方程。
-
根据贝祖定理，上述等式有解当且仅当 \(gcd(a,m)|b\)，也就是\(b\)是\(gcd(a,m)\)的整数倍，有解；
如果\(b\)不是\(gcd(a,m)\)的整数倍，无解，输出impossible -
用扩展欧几里得求出一组特解 \(x_0\),\(y_0\), 使得 \(a∗x_0+m∗y_0=gcd(a,m)\)。
-
对比两个方程：扩展欧几里得公式和线性同余方程两个东东
\( \large \left\{\begin{matrix} a*x + m*y = b & \\ a∗x_0+m∗y_0=gcd(a,m) & \end{matrix}\right. \)
两个方程的左右两边，左边的系数是一样的\(a,m\),右边的常数不一样，一个是\(b\),另一个是\(gcd(a,m)\)，我们刚才上面讨论过，\(b\)必须是\(gcd(a,m)\)的整数倍，方程才有解，也就是说，现在\(b\)一定是\(gcd(a,m)\)的整数倍！
设 \(d=gcd(a,m)\),那么\(b=t*d\),其中\(t=b/gcd(a,m)\)是一个整数。
\(\therefore x=b/gcd(a,m) * x_0\),
因为害怕在乘法运算过程中，造成爆\(int\),所以，出发前对\(b\)进行了转\(long\ long\)操作，以保证不爆\(int\).同时，因为是同余方程，如果取得的值大于\(m\),还需要模一下\(m\).即：
(LL) b / d * x % m
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, b, m;
cin >> a >> b >> m;
int x, y;
int d = exgcd(a, m, x, y);
if (b % d)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
}
return 0;
}
