AcWing 877. 扩展欧几里得算法
\(AcWing\) \(877\). 扩展欧几里得算法
一、题目描述
给定 \(n\) 对正整数 \(a_i,b_i\)，对于每对数，求出一组 \(x_i,y_i\)，使其满足 \(a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)\)。
输入格式
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含两个整数 \(a_i,b_i\)。
输出格式
输出共 \(n\) 行，对于每组 \(a_i,b_i\)，求出一组满足条件的 \(x_i,y_i\)，每组结果占一行。
本题答案不唯一，输出任意满足条件的 \(x_i,y_i\) 均可。
数据范围
\(1≤n≤10^5\)
\(1≤a_i,b_i≤2×10^9\)
输入样例
2
4 6
8 18
输出样例
-1 1
-2 1
样例理解：
- \(2x+3y=1\) 一组可行解：\((-1,1)\)
- \(8x+18y=2\) 一组可行解：\((-2,1)\)
二、裴蜀定理
裴蜀定理
若\(a\),\(b\)是整数,且\(gcd(a,b)=d\)，那么:
-
对于任意的整数\(x\),\(y\),\(ax+by\)都一定是\(d\)的倍数
-
一定存在整数\(x\),\(y\)，使\(ax+by=d\)成立
裴蜀定理推论
\(a,b\)互质 $\Leftrightarrow $ \(gcd(a,b)=1\) $\Leftrightarrow $ 存在整数\(x\),\(y\),使得\(ax+by=1\)
举栗子
\(2x+y=3\)
那么\(a=2\),\(b=1\),\(m=3\),\(gcd(2,1)=1\),\(3\)是\(1\)的倍数，所以这个方程一定有整数解。
\(x=1\),\(y=1\)就是一个整数解，还可以有\(x=-2\),\(y=7\)也是一组整数解。
注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解
再举栗子
\(4x+2y=5\)
有没有整数解呢？没有，因为\(a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5\)是除不开\(2\)的，所以没有整数解!
如何求贝祖数？
什么是贝祖数？
比如：\(2x+y=3\)，那么符合这个等式的\(x=1\),\(y=1\)就是一组 贝祖数
可以使用 扩展欧几里得算法求贝祖数
举个栗子：
求 \(104x+40y=8\) ，有没有合适的\(x,y\),也就是求贝祖数
通过贝祖定理看一下，它是不是有解： \(gcd(104,40)=8\),\(8\)是\(8\)的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？
扩展欧几里得算法的推导过程：
在\(exgcd\)中，我们实际是求不定方程\(ax+by=gcd(a,b)\)，并且，我们所返回的值，是这组解\((x，y)\)的最大公因数\(gcd(x,y)\)。
所以我们最后得到的解，要通过\(X=x∗k/gcd(a,b)，Y=(k−a∗x)/gcd(a,b)\)来进行一个小小的转换，得到一组解
算法实现过程证明
(\(1\))、当 \(b=0\)时
\(\large ax+by=gcd(a,0)\)，也就是:\(\large ax=gcd(a,0)=a\),所以\(\large x=1\)。
那么\(y\)呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于\(0\)的第一个可能\(y\)值就是:\(y=0\),所以，可以将\(x=1,y=0\)做为一组特解返回，也就是返回了一组不小于零的贝祖数。
(\(2\))、当 \(b≠0\)时
\(\because ax+by=gcd(a,b)\) 【原计算式】
\(gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)\) 【辗转相除法】
\(\therefore ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b\cdot x_0+(a\%b)\cdot y_0\) ① 【变量互换，最终是一致滴~】
\(\because a\%b=a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b\) ②【用整除向下取整来描述扣去\(a\)中所有的\(b\),剩下的就是余数】
将②代入①
\(\therefore ax+by=bx_0+(a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b)\cdot y_0\)
\(\therefore ax+by=ay_0+b(x_0-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot y_0)\)
\(\therefore x=y_0,y=x_0-⌊\frac{a}{b}⌋y_0\)
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
int x, y;
exgcd(a, b, x, y);
printf("%d %d\n", x, y);
}
return 0;
}
四、三者之间的关系
1. 裴蜀定理
-
对于任意一对正整数\(a,b\)，一定存在非零整数\(x,y\)使得\(ax+by=gcd(a,b)\)
-
可以用来判断方程\(ax+by=c\)是否有解，只要看\(c\)是否是\(gcd(a,b)\)的倍数
2. 扩展欧几里得算法
如果方程\(ax+by=c\)有解，那么扩欧可以求方程\(ax+by=gcd(a,b)\)一组解(\(x_0,y_0\))
3.线性同余方程
给定\(a,b,m\)构造出\(x\)使得\(ax≡b(mod\ m)\)成立
\(ax≡b(mod\ m)⟺ax=my+b\)(\(y\)是整数)
由此可知\(ax−my=b\)
令\(y'=−y\)则有\(ax+my'=b\)
则构造\(x\)一定使得\(ax+my'=b\)有解
根据裴蜀定理可知该方程有解的充要条件是\((a,m)|b\)
设\(d=(a,m)\),若\(d∤b\)则\(x\)不存在
若\(d|b\)，则可以用 扩展欧几里得算法 算出\(ax+bm=gcd(a,m)=d\)的\(x_0,y_0\)
再将\(x_0×\frac{b}{d},y_0×\frac{b}{d}\)得到\(x\)与\(y'\)
