AcWing 877. 扩展欧几里得算法

$AcWing$ $877$. 扩展欧几里得算法

一、题目描述

给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

输出格式
输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

数据范围
$1≤n≤10^5$
$1≤a_i,b_i≤2×10^9$

输入样例

2
4 6
8 18

输出样例

-1 1
-2 1

样例理解：

• $2x+3y=1$ 一组可行解：$(-1,1)$
• $8x+18y=2$ 一组可行解：$(-2,1)$
  

二、裴蜀定理

裴蜀定理

若$a$,$b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么:

• 对于任意的整数$x$,$y$,$ax+by$都一定是$d$的倍数

• 一定存在整数$x$,$y$，使$ax+by=d$成立

裴蜀定理推论

$a,b$互质 $\Leftrightarrow$ $gcd(a,b)=1$ $\Leftrightarrow$ 存在整数$x$,$y$,使得$ax+by=1$

举栗子

$2x+y=3$

那么$a=2$,$b=1$,$m=3$,$gcd(2,1)=1$,$3$是$1$的倍数，所以这个方程一定有整数解。

$x=1$,$y=1$就是一个整数解，还可以有$x=-2$,$y=7$也是一组整数解。

注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解

再举栗子

$4x+2y=5$
有没有整数解呢？没有，因为$a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5$是除不开$2$的，所以没有整数解!

如何求贝祖数？

什么是贝祖数？

比如：$2x+y=3$，那么符合这个等式的$x=1$,$y=1$就是一组 贝祖数

可以使用 扩展欧几里得算法求贝祖数

举个栗子：
求 $104x+40y=8$ ，有没有合适的$x,y$,也就是求贝祖数

通过贝祖定理看一下，它是不是有解： $gcd(104,40)=8$,$8$是$8$的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？

扩展欧几里得算法的推导过程：

在$exgcd$中，我们实际是求不定方程$ax+by=gcd(a,b)$，并且，我们所返回的值，是这组解$(x，y)$的最大公因数$gcd(x,y)$。

所以我们最后得到的解，要通过$X=x∗k/gcd(a,b)，Y=(k−a∗x)/gcd(a,b)$来进行一个小小的转换，得到一组解

算法实现过程证明

($1$)、当 $b=0$时

$\large ax+by=gcd(a,0)$，也就是:$\large ax=gcd(a,0)=a$,所以$\large x=1$。

那么$y$呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于$0$的第一个可能$y$值就是:$y=0$,所以，可以将$x=1,y=0$做为一组特解返回，也就是返回了一组不小于零的贝祖数。

($2$)、当 $b≠0$时

$\because ax+by=gcd(a,b)$ 【原计算式】

$gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$ 【辗转相除法】

$\therefore ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b\cdot x_0+(a\%b)\cdot y_0$ ① 【变量互换，最终是一致滴~】

$\because a\%b=a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b$ ②【用整除向下取整来描述扣去$a$中所有的$b$,剩下的就是余数】

将②代入①
$\therefore ax+by=bx_0+(a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b)\cdot y_0$

$\therefore ax+by=ay_0+b(x_0-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot y_0)$

$\therefore x=y_0,y=x_0-⌊\frac{a}{b}⌋y_0$

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}

四、三者之间的关系

1. 裴蜀定理

• 对于任意一对正整数$a,b$，一定存在非零整数$x,y$使得$ax+by=gcd(a,b)$

• 可以用来判断方程$ax+by=c$是否有解，只要看$c$是否是$gcd(a,b)$的倍数

2. 扩展欧几里得算法

如果方程$ax+by=c$有解，那么扩欧可以求方程$ax+by=gcd(a,b)$一组解($x_0,y_0$)

3.线性同余方程

给定$a,b,m$构造出$x$使得$ax≡b(mod\ m)$成立

$ax≡b(mod\ m)⟺ax=my+b$($y$是整数)

由此可知$ax−my=b$

令$y'=−y$则有$ax+my'=b$

则构造$x$一定使得$ax+my'=b$有解

根据裴蜀定理可知该方程有解的充要条件是$(a,m)|b$

设$d=(a,m)$,若$d∤b$则$x$不存在

若$d|b$，则可以用 扩展欧几里得算法 算出$ax+bm=gcd(a,m)=d$的$x_0,y_0$

再将$x_0×\frac{b}{d},y_0×\frac{b}{d}$得到$x$与$y'$