AcWing 5. 多重背包问题 II【二进制优化版本】
\(AcWing\) \(5\). 多重背包问题 II
一、题目描述
有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。
第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件，每件体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，\(N，V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 \(N\) 行，每行三个整数 \(v_i,w_i,s_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
\(0<N≤1000\)
\(0<V≤2000\)
\(0<v_i,w_i,s_i≤2000\)
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
二、与 多重背包问题 \(I\) 的区别
区别在于数据范围变大了：现在是三个循环数据上限分别是\(1000\)(物品种数),\(2000\)(背包容积),第\(i\)种物品的体积、价值和数量的上限也是\(2000\),原来的每个数字上限都是\(100\)！
解法\(I\)使用的是三重循环，计算次数就是 \(1000 * 2000 * 2000=4000000000=4 * 1e9 =40\)亿次
\(C++\)一秒可以算\(1e8\)次，就是\(1\)亿次，\(40\)亿肯定会超时!
三、二进制优化
\(Q\):怎么来优化呢？
答：我们先来思考一下为什么方法一的速度慢,因为三层循环:
① 第一层遍历每个物品
② 第二层遍历每个可用的空间
③ 第三层枚举当前物品使用了几个
\(Q\):我们最终的目标是什么?
答：每个物品选择了几个才是最优的，价值最大的。
办法
用二进制思想把所有可能的组合都表示出来，转化为\(01\)背包问题！
假如\(A\)物品，有\(10\)个，你最后要几个不一定，可能是\(0\)个，\(1\)个,\(2\)个，....，\(10\)个。
我们可以这样打包：
上面这样的转化，就是把一个个尝试，转化为了成批说事，比如上面圆圈里的\(4\)，理解为\(i\)物品\(4\)个打成一包,体积是原来的\(4\)倍，价值也是原来的\(4\)倍。这个打包完成的新物品，你可以选择，也可以不选择，当你最终方案中\(i\)物品要了\(5\)个时，这个打包\(4\)就被选中了，当你最终方案中\(i\)物品要了\(2\)个时，这个打包\(4\)就被放弃了。
打包，就是成批讨论，避免了一个个讨论，组团，按\(yxc\)的说法就是集合，不管怎么样吧，二进制打包法将极大加快计算速度！理由：比如\(INT\_MAX\),其实就是\(2^{31}\),也就是划分成了最多\(31\)个包，能不快吗！就是打包费点劲。
三、一维实现代码 【推荐】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; // 个数上限
const int M = 2010; // 体积上限
int n, m, idx;
int f[M];
/*
Q:为什么是N*12?
A:本题中v_i<=2000,因为c数组是装的打包后的物品集合，每类物品按二进制思想，2000最多可以打log2(2000)+1个包，即 10.96578+1=12个足够,
同时，共N类物品，所以最大值是N*12。
如果题目要求v_i<=INT_MAX,那么就是log2(INT_MAX)=31,开31个足够,因为31是准确的数字，不需要再上取整。
为保险起见，可以不用计算数组上限，直接N*32搞定！
*/
struct Node {
int w, v;
} c[N * 12];
int main() {
cin >> n >> m;
// 多重背包的经典二进制打包办法
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
c[++idx] = {j * w, j * v};
s -= j;
}
// 不够下一个2^n时，独立成包
if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
}
// 按01背包跑
for (int i = 1; i <= idx; i++)
for (int j = m; j >= c[i].v; j--) // 倒序
f[j] = max(f[j], f[j - c[i].v] + c[i].w);
// 输出
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}
四、二维+滚动数组代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; // 个数上限
const int M = 2010; // 体积上限
int n, m, idx;
// 无法使用二维数组，原因是因为分拆后N*31*M=31*1010*2010太大了，MLE了
// 所以，需要使用滚动数组进行优化一下，思想还是二维的
int f[2][M];
struct Node {
int w, v;
} c[N * 31];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
c[++idx] = {j * w, j * v};
s -= j;
}
// 不够下一个2^n时，独立成包
if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
}
// 按01背包跑就可以啦
for (int i = 1; i <= idx; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++) {
f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];
if (j >= c[i].v)
f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - c[i].v] + c[i].w);
}
// 输出
printf("%d\n", f[idx & 1][m]);
return 0;
}
