AcWing 4. 多重背包问题 I
\(AcWing\) \(4\). 多重背包问题 I
一、题目描述
有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包。
第 \(i\) 种物品最多有 \(s_i\) 件,每件体积是 \(v_i\),价值是 \(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,\(N,V\),用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 \(N\) 行,每行三个整数 \(v_i,w_i,s_i\),用空格隔开,分别表示第 \(i\) 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
\(0<N,V≤100\)
\(0<v_i,w_i,s_i≤100\)
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例:
10
二、分析过程
- 状态表示:\(f[i][j]\)
集合:从前\(i\)个物品中选,总体积不超过\(j\)的所有选法
属性:\(max(\)集合中每种选法总价值\()\) - 状态计算
集合划分的过程,和完全背包很像,但不像完全背包有无穷多个,而是有数量限制
\[f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]*k]+v_i*k) \ \ k \in \{0,1,2,3,...\}
\]
三、实现代码(二维数组)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 讨论每个物品
int w, v, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 0; j <= m; j++) // 讨论每个剩余的体积
for (int k = 0; k <= s && v * k <= j; k++) // 讨论加入的个数
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + w * k);
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
四、实现代码(一维数组)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = m; j >= v; j--)
for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k++)
f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}