AcWing 3. 完全背包问题

$AcWing$ $3$. 完全背包问题

一、题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
$0<N,V≤1000$
$0<v_i,w_i≤1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

二、完全背包

状态表示：$f(i,j)$
集合： $i$是指在前$i$个物品中进行选择，$j$是指在总体积不超过$j$的容量下进行选择。
属性： 求一个最大值。 因为按上面的集合进行选择，每选择一次，就会出现一个结果，我们想求的是这些结果中的最大值。

状态计算
与$01$背包不一样，$01$背包是每一个物品选与不选，完全背包不是这个意思。是可以不选，选择$1$个，或者选择多个。

第$i$个物品，我们可以选择，也可以放弃，放弃了自然就是$f[i-1][j]$,这个没什么好讲。
如果我们选择了$i$物品，肯定要带上它的价值$v_i$,而承担它的重量$w_i$,
完成了选择它以后，我们接下来可以在前多少个物品中选呢？其实，还是$i$个，因为每种物品的数量无限啊！所以，选完了$i$,剩余的表示还是:$f[i][j-v_i]$。

总结一下
二维情况下的状态转移方程

$\ 01$背包 ： $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v_i]+w_i)$
完全背包： $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i)$

这样，再用二维降一维的思路来思考，就得到了完全背包的终极解法：

 for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ ) 
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); 

三、二维写法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

四、一维解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

// 完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}

五、思考

为什么$01$背包要倒着推，完全背包要顺着推
https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7782700.html