AcWing 873. 欧拉函数

$AcWing$ $873$. 欧拉函数

一、题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义

输入格式
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式
输出共 $n$ 行，每行输出一个正整数 $a_i$ 的欧拉函数。

数据范围
$1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9$

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

二、欧拉函数定义

定义：欧拉函数是小于$n$的数中与$n$互质的数的数目。

例如$\LARGE φ(8)=4$，因为$\LARGE 1,3,5,7$均和$\LARGE 8$互质。

三、欧拉函数公式

如果$n$的唯一分解式： $$\LARGE n=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot...\cdot p_k^{r_k}$$
有：

$$\LARGE φ(n)=n\times (1- \frac{1}{p_1})\times (1- \frac{1}{p_2}) \times ... \times (1- \frac{1}{p_k})$$

对比与复习,复习办法（用纸笔抄公式记忆+打代码记忆）:

• 约数个数：只与 幂次 相关，与质因子无关
  $180= 2^2 * 3^2 * 5$
  约数个数$=(1+2) * (1+2) * (1+1) =18$

• 约数和：与质数因子和幂次都相关
  以$360$举例,求它的全部约数和:
  $360 = 2*2*2*3*3*5 =2^3 * 3^2 * 5^1$
  约数和=$(2^0+2^1+2^2+2^3)*(3^0+3^1+3^2)*(5^0+5^1) = (1+2+4+8)*(1+3+9)*(1+5)= \\ 15*13*6=1170$

欧拉函数公式，只与因子相关，与指数无关！
还是上面的栗子：

$$\LARGE 8=2^3 \\ φ(8)=8*(1-\frac{1}{2})=4$$

四、欧拉函数公式证明

欧拉函数的证明是使用的融斥原理，从定义出发：
定义：欧拉函数是小于$n$的数中与$n$互质的数的数目。

（1）对数字$N$进行质因数分解：

$$\LARGE N={p_1}^{r_1} \cdot {p_2}^{r_2} \cdot {p_3}^{r_3} \cdot ... \cdot {p_k}^{r_k}$$

(2) 如果一个数包含了$\LARGE p_1$这个因子，那么它肯定与$N$不互质，因为有$\LARGE p_1$这个公因子嘛，换句话说，就是要想与$N$互质，那么一定不能包含$\LARGE p_1,p_2,...,p_k$这此因子。

小于$N$的所有数字中，如果它包含了$\LARGE p_1,p_2,...,p_k$这样的因子的话，那么它就与$N$不互质，换句话说，只要把小于$N$之内，所有包含$\LARGE p_1,p_2,..p_k$的数字都干掉，剩下的就是与$N$互质的数。所谓包含$\LARGE p_1,p_2,..,p_k$其实也就是
$\LARGE p_1,p_2,..,p_k$的整数倍。

• 把$\LARGE p_1$的倍数从$\LARGE N$中减去，那需要减去多少个呢？

$\LARGE \displaystyle \left \lfloor \frac{N}{p_1} \right \rfloor$个.

这里想不明白的话，可以举个栗子：比如$N=10$，$p_1=2$,有几个$p_1$的倍数呢？$5$个!为什么呢？

$$\LARGE \displaystyle \left \lfloor \frac{10}{2} \right \rfloor=5$$

(3) 把$\LARGE p_2,p_3,...,p_k$的倍数都减去吧，分别减去$\LARGE \left \lfloor \frac{N}{p_2}\right \rfloor$,$\LARGE \left \lfloor \frac{N}{p_3}\right \rfloor$,...,$\LARGE \left \lfloor \frac{N}{p_k}\right \rfloor$个。

(4) 这么干是减多了的，比如某个数，是$\LARGE p_2$的倍数，也是$\LARGE p_3$的倍数，就减了两回，还需要再加回来$\LARGE p_i * p_j$的倍数，就是 + $\LARGE \frac{N}{p_1 * p_2}$+ $\LARGE \frac{N}{p_1 * p_3}$+ $\LARGE \frac{N}{p_1 * p_k}$+ ....

(5)将公式$\LARGE \phi(N)=N * (1-\frac{1}{p_1}) * (1-\frac{1}{p_2}) * (1-\frac{1}{p_3}) * ... * (1-\frac{1}{p_k})$展开，发现就是上面的东东了，证毕。

(6)

$\LARGE \phi(N)=N * (1-\frac{1}{p_1}) * (1-\frac{1}{p_2}) * (1-\frac{1}{p_3}) * ... * (1-\frac{1}{p_k}) \ \Leftrightarrow \ \phi(N)=N * (\frac{p_1-1}{p_1}) * (\frac{p_2-1}{p_2}) * (\frac{p_3-1}{p_3}) * ... * (\frac{p_k-1}{p_k})$

下面在编码计算单个数字的欧拉函数值时，要用到这个变形。

五、求单个数字的欧拉函数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int phi(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        printf("%d\n", phi(x));
    }
    return 0;
}