AcWing 870. 约数个数

\(AcWing\) \(870\). 约数个数

一、题目描述

给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 \(10^9+7\) 取模。

输入格式
第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个整数 \(a_i\)。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 \(10^9+7\) 取模。

数据范围
\(1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9\)

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

二、约数个数公式

如果\(n\)的唯一分解式： $$\LARGE n={p_1}^{r_1}\cdot {p_2}^{r_2} \cdot ... \cdot {p_k}^{r_k}$$

\(n\)的约数个数公式：

\[\large d(n) = (r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1) \]

证明

以\(p_1\)为例，这个质数因子，可以选择\(0\)个，可以选择\(1\)个，...,最多可以选择\(r_1\)个，就是有\(r_1+1\)种选择的可能性，其它\(p_2,p_3,...,p_k\)都是如此，根据乘法原理，所有的可能性就是\((r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)\)。

举个栗子：
\(180= 2^2 * 3^2 * 5\)

约数个数\(=(1+2) * (1+2) * (1+1) =18\)

三、求数字连乘积的约数个数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 110;
const int MOD = 1e9 + 7;

unordered_map<int, int> primes;
int n;

signed main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i++)
            while (x % i == 0) {
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        if (x > 1) primes[x]++;
    }

    int res = 1;
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % MOD;

    printf("%lld\n", res);
}

四、求单个数字的约数个数

求连乘积的都会了的话，这个就简单了，不就是\(n=1\)时的情况吗？不多说了~