AcWing 861. 二分图的最大匹配
\(AcWing\) \(861\). 二分图的最大匹配
一、题目描述
给定一个二分图，其中左半部包含 \(n_1\) 个点（编号 \(1∼n_1\)），右半部包含 \(n_2\) 个点（编号 \(1∼n_2\)），二分图共包含 \(m\) 条边。
数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。
请你求出二分图的最大匹配数。
二分图的匹配：给定一个二分图 \(G\)，在 \(G\) 的一个子图 \(M\) 中，\(M\) 的边集 \({E}\) 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 \(M\) 是一个匹配。
二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。
输入格式
第一行包含三个整数 \(n_1\)、 \(n_2\) 和 \(m\)。
接下来 \(m\) 行，每行包含两个整数 \(u\) 和 \(v\)，表示左半部点集中的点 \(u\) 和右半部点集中的点 \(v\) 之间存在一条边。
输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。
数据范围
\(1≤n1,n2≤500,1≤u≤n_1,1≤v≤n_2\),\(1≤m≤10^5\)
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2
二、二分图的最大匹配
-
前提：给定一个二分图，不用你判断是不是二分图，已经明确知道是二分图，让你求它的最大匹配。
-
定义：在一个无向图中，定义一条边覆盖的点为这条边的两个端点。
找到一个边集\(S\)包含最多的边，使得这个边集覆盖到的所有顶点中的每个顶点只被一条边覆盖。\(S\)的大小叫做图的最大匹配。
匈牙利算法
又名：【月佬算法】,目标：成就更多美满姻缘！
建立有向图\(G\)，分为二分图的左侧和右侧。 优先选择左侧序号更小的连接可能的边。 对于两个点的目标点“冲突”的时候，采取“协商”的办法。 即序号小的连接可能连接的另一条边。 若“协商”失败，则放弃序号较大的点的边。
概念看的都好绕，实例比较好懂：
你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。
本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：
- 先试着给\(1\)号男生找妹子，发现第一个和他相连的\(1\)号女生还名花无主，\(got\ it\)，连上一条蓝线
- 接着给\(2\)号男生找妹子，发现第一个和他相连的\(2\)号女生名花无主，\(got\ it\)
- 接下来是\(3\)号男生，很遗憾\(1\)号女生已经有主了，怎么办呢？
我们试着给之前\(1\)号女生匹配的男生（也就是\(1\)号男生）另外分配一个妹子。(黄色表示这条边被临时拆掉)
与\(1\)号男生相连的第二个女生是\(2\)号女生，但是\(2\)号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给\(2\)号女生的原配重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)
此时发现\(2\)号男生还能找到\(3\)号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去
| \(2\)号男生可以找\(3\)号妹子 | \(1\)号男生可以找\(2\)号妹子 | \(3\)号男生可以找\(1\)号妹子 |
|---|---|---|
 |
 |
 |
所以第3步最后的结果就是：
- 接下来是\(4\)号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给\(4\)号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
const int M = 100010;
int n1, n2;
int m;
int match[N];
int st[N];
int res;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int dfs(int u) {
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i];
if (!st[v]) {
st[v] = 1;
if (match[v] == 0 || dfs(match[v])) {
match[v] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n1 >> n2 >> m;
while (m--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
for (int i = 1; i <= n1; i++) {
memset(st, 0, sizeof st);
if (dfs(i)) res++;
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
五、 解释int st[N]的作用
重点:st[]的作用:
首先我们\(find(x)\) 遍历属于\(h[x]\)的单链表相当于遍历他所有喜欢的女生
如果某个女生\(j\)没有被他预定过的话,就标记这个女生\(j\)被他预定,即\(st[j]=true\)
这时如果女\(j\)还没有匹配过,即\(match[j]==0\)的时候,那这个预定就成真了,得到\(match[j]=x\)
而如果女\(j\)之前就被男\(k\)匹配过了,那我们就\(find(k)\),也就是\(find(match[j])\)(因为原本\(match[j]==k\))
然后在\(find(k)\)的过程中,因为\(st[j]=true\),这时候男\(k\)就不能再选则女\(j\)了,因为女\(j\)已经被预定了,所以男\(k\)就只能在他喜欢的女生里面选择其他人来匹配。
当然，如果\(find(k)\)返回\(false\)的话,那就 \(if(match[j]==0 || find(match[j]))\)都不成立,那男\(j\)就一边玩去吧~
