AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

$AcWing$ $859$. $Kruskal$算法求最小生成树

一、题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
$1≤n≤10^5,1≤m≤2∗10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

二、$Kruskal$算法

1、基本思路：

（1） 将所有边按权重从小到大排序

（2） 枚举每条边 $a \sim b$ ,权重是$c$

    if a,b不在一个集合中 ：
        将这条边加入集合中
    结束  

2、与$prim$算法的区别

• 克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，普利姆算法是以点为主导的地位的。
• $prim$算法适合稠密图，$kruskal$算法适合稀疏图。理由也挺简单的，$kruskal$是按边存的，边少就合适，边多就不适合。稀疏图当然边少，稠密图是点少，但边多，边可能达到节点数的平方，即每个节点都与其它节点有边。

3、算法模拟

假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：

根据$kruskal$的原理，我们需要对边权$dis$进行排序，每次找出最小的边。
排序后，最小的边自然是第$8$条边，于是$4$和$6$相连。

遍历继续，第二小的边是$1$号，$1$和$2$联通。

再后来是边$3$连接$1$,$4$。

$dis$也是$14$的还有边$5$，它连接$3$,$4$。

其次是$dis$为$15$的边$4$，但是$2$和$4$已经相连了，$pass$。

然后是$dis$为$16$的两条边（边$2$和边$9$），边$2$连接$1$和$3$，边$9$连接$3$和$6$，它们都已经间接相连，$pass$。

再然后就是$dis$为$22$的边$10$，它连接$5$和$6$，$5$还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了$n-1$条边，结束，最后图示如下：

本题与 https://www.acwing.com/problem/content/839/ 是姊妹题，其实$Kruskal$算法就是一个并查集的应用。

不像$Prim$算法，不用考虑边界，考虑循环$N$次啊，计算最小值啊，还要用堆进行优化啊，这个就是一个并查集，思路简单。

4、疑问与解答

$Q$:只需要简单结构体即可,不需要邻接表或者邻接矩阵来存，为什么呢？

$A$:之所以使用邻接表或邻接矩阵，其实说白了，是按点存的，记录$A$点和$B$点的关系。用结构体存储，其实是按边存的，就是题目说有一条$A-B$的边（权为$C$），我们就存了一个$A-B$权为$C$的边。

按点存麻烦（邻接表或邻接矩阵），按边存（结构体数组）简单。

$Code$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010, M = N << 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m; // n条顶点,m条边
int res;  // 最小生成树的权值和
int cnt;  // 最小生成树的结点数

// Kruskal用到的结构体
struct Node {
    int a, b, c;
    bool const operator<(const Node &t) const {
        return c < t.c; // 边权小的在前
    }
} edge[M]; // 数组长度为是边数

// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

// Kruskal算法
void kruskal() {
    // 1、按边权由小到大排序
    sort(edge, edge + m);
    // 2、并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    // 3、迭代m次
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
            p[a] = b, res += c, cnt++; // cnt是指已经连接上边的数量
    }
    // 4、特判是不是不连通
    if (cnt < n - 1) res = INF;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edge[i] = {a, b, c};
    }
    kruskal();
    if (res == INF)
        puts("impossible");
    else
        printf("%d\n", res);
    return 0;
}