AcWing 858. Prim算法求最小生成树

$AcWing$ $858$. $Prim$算法求最小生成树

一、题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
$1≤n≤500,1≤m≤10^5$,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

二、解题思路

最小生成树

• 最小生成树一般是说的无向图，有向图的最小生成树一般不会用到。

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点$v_i$与$v_j$都有路径相通，则称该无向图为连通图。

• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。

• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部$n$个顶点，但只有足以构成一棵树的$n-1$条边。一颗有$n$个顶点的生成树有且仅有$n-1$条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。

• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 一个无向图可以有多个最小生成树，但最小生成树的边权和一定是最小的。
  

实际的场景：
比如$N$个城市，需要根据实际情况建高铁，我们知道这些城市之间有些是相通的，距离也知道，有些城市之间是不通的，也不打算建高铁。那么，我们如何能知道怎么建设高铁的路线使用城市之间全能连通，并且路线和最小呢？因为这样才省钱，还能保证所有城市联通啊！

三、$Prim$算法

和$dijkstra$非常相似,$dijkstra$算法是计算到顶点的距离，而$Prim$算法是计算到集合的距离，下面详细讲解：

比如本题:稠密图，节点个数$500$,边数$10^5$,好多的边啊，所以需要定义$g[N][N]$, $500*500=250000 > 10^5$。

$prim$ 算法采用的是一种 贪心 的策略,每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。

算法步骤

1. 把所有距离dis[N]初始化为$INF$。
2. 用一个 pre 数组保存节点的前驱节点是谁。pre[i] = k 表示节点 i 和节点 k 之间需要有一条边。初始时，pre 的各个元素置为 -1。
3. 循环$n$次，将所有点准备加入到集合中。
   • 找出不在集合中的(!st[j])距离集合最近的点dis[j]，如果是有多个距离一样近，那么选择号小的那个,命名为t。
   • 累加最小权值
   • 利用$t$更新未加入集合中的其它各点到集合的最短距离
   • 将$t$加入到集合中

模拟流程

我们将图中各个节点用数字 $1 \sim n$ 编号。

1. 要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
   用一个 $st$ 数组表示节点是否已经连通。$st[i]$ 为真，表示已经连通，$st[i]$ 为假，表示还没有连通。初始时，$st$ 各个元素为假。即所有点还没有连通。
   用一个 $dis$ 数组保存各个点到连通部分的最短距离，$dis[i]$ 表示 $i$ 节点到连通部分的最短距离。初始时，$dis$ 数组的各个元素为无穷大。
   用一个 $pre$ 数组保存节点的是和谁连通的。$pre[i] = k$ 表示节点 $i$ 和节点 $k$ 之间需要有一条边。初始时，$pre$ 的各个元素置为 $-1$。
   

2. 从 $1$ 号节点开始扩充连通的部分，【之所以从一号结点开始，是因为大家都是距离集合正无穷，那么号小的优先！】，所以 $1$ 号节点与连通部分的最短距离为 $0$，即$dis[i]$ 值为 0。
   

3. 遍历 $dis$ 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 $t$。$t$节点就是下一个应该加入连通部分的节点，$st[t]$ 置为 $true$。
   用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。这里青色点中距离最小的是 $dis[1]$，因此 $st[1]$ 置为 $true$。
   

4.遍历所有与 $t$ 相连但没有加入到连通部分的点 $j$，如果 $j$ 距离连通部分的距离大于 $t \sim j$ 之间的距离，即 $dis[j] > g[t][j]$（$g[t][j]$ 为 $t \sim j$ 节点之间的距离），则更新 $dis[j]$ 为 $g[t][j]$。这时候表示，$j$ 到连通部分的最短方式是和 $t$ 相连，因此，更新$pre[j] = t$。

与节点 $1$ 相连的有 $2$， $3$， $4$ 号节点。$1 \rightarrow 2$ 的距离为 $100$，小于 $dis[2]$，$dis[2]$ 更新为 $100$，$pre[2]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 4$ 的距离为 $140$，小于 $dis[4]$，$dis[4]$更新为 $140$，$pre[4]$ 更新为$1$。$1 \rightarrow 3$ 的距离为 $150$，小于 $dis[3]$，$dis[3]$ 更新为 $150$，$pre[3]$ 更新为$1$。

5. 重复 $3$, $4$步骤，直到所有节点的状态都被置为 $1$.
   这里青色点中距离最小的是 $dis[2]$，因此 $st[2]$ 置为 $1$。
   

与节点 $2$ 相连的有 $5$， $4$号节点。$2 \rightarrow 5$ 的距离为 $80$，小于 $dis[5]$，$dis[5]$ 更新为 $80$，$pre[5]$ 更新为 $2$。$2 \rightarrow 4$ 的距离为 $80$，小于 $dis[4]$，$dis[4]$ 更新为 $80$，$pre[4]$ 更新为$2$。

选$dis[4]$，更新$dis[3]$，$dis[5]$，$pre[3]$，$pre[5]$。


选$dis[5]$，没有可更新的。

选$dis[3]$，没有可更新的。

6.此时 $dis$ 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。$pre$ 数组中保存了需要选择的边。

经验总结

• 最小生成树并不唯一，但它的边权最小值是唯一的。所以，一般没有要求求出最小生成树长成什么样子，而是要求输出最小生成树的边权最小值。
• 因为$Prim$算法需要反复的求每两个点之间的距离，这就决定了 邻接矩阵更合适，因为相对于邻接表，邻接矩阵可以快速提供两个点之间的距离，而邻接表是链表，想要获取两个点之间的距离就没那么方便。
• 边数较少可以用$Kruskal$,因为$Kruskal$算法每次查找最短的边。 边数较多可以用$Prim$，因为它是每次加一个顶点，对边数多的适用。

四、朴素版$Prim$算法代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N];  // 这个点到集合的距离
bool st[N];  // 是不是已经使用过
int res;     // 最小生成树里面边的长度之和

// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
    // 距离初始化无穷大,表示所有结点都在生成树之外
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
        /*
        1、找到集合外，距离集合最近的点，记为t,此时有两种情况进行猴子选大王：
        （1）首次查找,此时还没有大王，那么，默认第一个找到的就是大王
        （2）非首次查找,那么PK距离最小的成为大王
        */
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;

        /*2、如果不是第一个点，并且剩余的点距离集合的最小距离是INF，说明现在没有点可以连通到生成树，
         这时不是连通图，没有最小生成树，返回INF

        如果是第一个点，因为把它加到集合中去的代码是在下面进行的，此时它也没有被加入到集合中去，所以dist[t]=INF,这时不能说无解
        因为才刚刚开始，需要特判一下
        */
        if (i && dis[t] == INF) return INF;

        // 3、同上，这里也需要特判一下是不是第1个节点，第一个节点不用加边权值，其它的需要加
        if (i) res += dis[t];

        // 4、因为本轮选择的是结点t,那么用t更新其它未加入到集合中点到集合的距离
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && dis[j] > g[t][j])
                dis[j] = g[t][j];

        // 5、把t放到集合中
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    // 所有点之间的距离初始化为正无穷，然后再读入所有边
    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    // 读入数据
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
        // 允许重复，构建双向有向成为无向图,同时保留最小的
    }
    int t = prim(); // 普利姆算法
    // 输出结果
    if (t == INF) puts("impossible");
    // 不存在生成树，比如所有点不连通的情况下
    else
        cout << t << endl; // 否则输出t

    return 0;
}

五、带路径输出的$Prim$算法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N]; // 稠密图，邻接矩阵
int dis[N];  // 这个点到集合的距离
bool st[N];  // 是不是已经使用过
int res;     // 最小生成树里面边的长度之和
int pre[N];  // 前驱结点

// 普利姆算法求最小生成树
int prim() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(pre, -1, sizeof pre); // 记录前驱路径
    dis[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) { // 迭代n次
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])) t = j;
        if (i && dis[t] == INF) return INF; // 非连通图，没有最小生成树
        if (i) res += dis[t];
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && g[t][j] < dis[j]) {
                dis[j] = g[t][j];
                pre[j] = t; // 记录是由谁转移而来
            }
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    // 读入数据
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    int t = prim();
    if (t == INF)
        puts("impossible");
    else
        cout << t << endl;

    // 输出前驱结点
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", pre[i]);
    return 0;
}