AcWing 852. spfa判断负环

\(AcWing\) \(852\). \(spfa\)判断负环

一、题目描述

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行每行包含三个整数 \(x,y,z\)，表示存在一条从点 \(x\) 到点 \(y\) 的有向边，边长为 \(z\)。

输出格式
如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围
\(1≤n≤2000,1≤m≤10000\),
图中涉及边长绝对值均不超过 \(10000\)。

输入样例：

3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4

输出样例：

Yes

二、解题思路

1. \(spfa\)可以用来判断是不是有向图中存在负环。

2. 基本原理：利用 抽屉原理

   \(dist[x]\)的概念是指当前从虚拟源点到\(x\)号点的最短路径的长度。\(dist[x]=dist[t]+w[i]\)

   \(cnt[x]\)的概念是指当前从虚拟源点到\(x\)号点的最短路径的边数量。\(cnt[x]=cnt[t]+1\)

   如果发现\(cnt[x]>=n\),就意味着从虚拟源点\(\sim x\)经历了\(n\)条边，那么必须经过了\(n+1\)个点，但问题是点一共只有\(n\)个，所以必然有两个点是相同的，就是有一个环。
   因为是在不断求最短路径的过程中发现了环，路径长度在不断变小的情况下发现了环，那么，只能是负环。

3. 为什么初始化时初始值为\(0\),而且把所有结点都加入队列？
   在原图的基础上新建一个虚拟源点，从该点向其他所有点连一条权值为\(0\)的有向边。那么原图有负环等价于新图有负环。此时在新图上做\(spfa\)，将虚拟源点加入队列中。然后进行\(spfa\)的第一次迭代，这时会将所有点的距离更新并将所有点插入队列中。执行到这一步，就等价于下面代码中的做法了。如果新图有负环，等价于原图有负环。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010, M = 10010;
int n, m;   // 点数、边数
int d[N];   // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
int cnt[N]; //

// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

int spfa() {
    queue<int> q;
    // 构建超级源点，防止负环与出发点不连通
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }
    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = 0;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (d[v] > d[u] + w[i]) {
                d[v] = d[u] + w[i];

                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if (cnt[v] >= n) return 1;
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    // 调用spfa判断是否有负环
    if (spfa())
        puts("Yes");
    else
        puts("No");

    return 0;
}