AcWing 851. spfa求最短路

$AcWing$ $851$. $spfa$求最短路

一、题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。

输出格式
输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 impossible。

数据范围
$1≤n,m≤10^5$,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4

输出样例：

2

二、$spfa$算法

$spfa$算法是 $bellman-ford$算法的 队列优化算法 的别称，通常用于 求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。

$bellman-ford$是一个很傻的算法，因为它一共进行$n-1$次，每次把每条边都遍历一次，不管是不是变小了，都判断一次 $dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w)$,其实，$dist[b]$如果真的变小，是因为 $dist[a]$变小了，它得到利益，换句话说就是前驱变小而受益,所以可以采用宽搜来做优化。

关键问题

• $st[]$作用
  1. 判断当前的点是否已经加入到队列当中了
  2. 已经加入队列的结点不需要反复的加入到队列
  3. 不使用$st$数组最终也没有关系，使用可以提升效率
     
     
• $spfa$算法看上去和$Dijstra$算法长得有一些像但是其中的意义还是 相差甚远:
  • $Dijkstra$算法中的$st[]$保存的是:当前确定了到源点距离最小的点，且一旦确定了最小那么就不可逆
    
    
  • $spfa$算法中的$st[]$表示当前发生过更新的点，且$spfa$中的$st[]$数组 可逆 (在标记为$true$之后又标记为$false$)。
    顺带一提的是$bfs$中的$st$数组记录的是当前已经被遍历过的点
    
    
  • $Dijkstra$算法里使用的是 优先队列, 保存的是当前未确定最小距离的点，目的是快速的取出当前到源点距离最小的点；$spfa$算法中使用的是队列,目的只是记录一下当前发生过更新的点。
    
    

• $bellman-ford$算法里最后return -1的判断条件写的是dist[n]>0x3f3f3f3f/5;而$spfa$算法写的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在于$bellman-ford$算法会遍历所有的边，因此不管是不是和源点连通的边它都会得到更新；但是$spfa$算法不一样，它相当于采用了$bfs$，因此遍历到的结点都是与源点连通的，因此如果你要求的$n$和源点不连通，它不会得到更新，还是保持的0x3f3f3f3f
  
  

• $bellman-ford$算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的因此最终不会发生死循环；但是$spfa$算法不可以，由于用了队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队，因此假如有负权回路请你不要用$spfa$否则会死循环。
  
  

• 由于$spfa$算法是由$bellman-ford$算法优化而来，在最坏的情况下时间复杂度和它一样即时间复杂度为 $O(nm)$ ，假如题目时间允许可以直接用$spfa$算法去解$Dijkstra$算法的题目。(好像$spfa$有点小小万能的感觉?)
  
  

• 求负环一般使用$spfa$算法，方法是用一个$cnt$数组记录每个点到源点的边数，一个点被更新一次就+$1$，一旦有点的边数达到了$n$那就证明存在了负环。

三、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 100010, M = 2 * N;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

using namespace std;
int n, m;  // 总点数
int d[N];  // 存储每个点到1号点的最短距离
int st[N]; // 存储每个点是否在队列中

// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
void spfa(int s) {
    // 初始化距离
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    d[s] = 0;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    st[s] = 1;

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = 0;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (d[v] > d[u] + w[i]) {
                d[v] = d[u] + w[i];
                // 如果队列中已存在v，则不需要将v重复插入,优化一下
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = 1;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    spfa(1);
    if (d[n] == INF)
        puts("impossible");
    else
        printf("%d\n", d[n]);
    return 0;
}