AcWing 841. 字符串哈希

$AcWing$ $841$. 字符串哈希

一、题目描述

给定一个长度为 $n$ 的字符串，再给定 $m$ 个询问，每个询问包含四个整数 $l_1,r_1,l_2,r_2$，请你判断 $[l_1,r_1]$ 和 $[l_2,r_2]$ 这两个区间所包含的字符串子串是否完全相同。

字符串中只包含大小写英文字母和数字。

输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$，表示字符串长度和询问次数。

第二行包含一个长度为 $n$ 的字符串，字符串中只包含大小写英文字母和数字。

接下来 $m$ 行，每行包含四个整数 $l_1,r_1,l_2,r_2$，表示一次询问所涉及的两个区间。

注意，字符串的位置从 $1$ 开始编号。

输出格式
对于每个询问输出一个结果，如果两个字符串子串完全相同则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围
$1≤n,m≤10^5$

输入样例：

8 3
aabbaabb
1 3 5 7
1 3 6 8
1 2 1 2

输出样例：

Yes
No
Yes

二、算法思路

字符串哈希 $O(n+m)$

全称 字符串前缀哈希法，把字符串变成一个$p$进制数字（哈希值），实现不同的字符串映射到不同的数字。并且，用$h[N]$记录字符串前$N$个字符的$Hash$值，类似于前缀和。

作用就是把$O(N)$的时间复杂度降为$O(1)$。比如本题就是对比任意两段内字符串是不是相同，正常就是类似于一个循环长度次的$substr$,其实用$hash$差就能一步搞定！

举个栗子：

str="ABCABCDEYXCACWING";
h[0]=0;
h[1]="A"的Hash值;
h[2]="AB"的Hash值;
h[3]="ABC"的Hash值;
h[4]="ABCA"的Hash值;

对形如$X_1X_2X_3...X_{n-1}X_n$的字符串，采用字符 $ASCII$码乘上$P$次方来计算哈希值。

映射公式：$(X_1 \times P^{n-1} +X_2 \times P^{n-2}+...+X_{n-1}\times P^1 + X_n \times P^0) mod \ Q$

比如:字符串$ABCD$，$P=131$
那么$h[4]=65*131^3+66*131^2+67*131^1+68*131^0$

而$AB$，$P=131$
说是$h[2]=65*131^1+66*131^0$

我们想要求"$CD$"的$HASH$值，怎么求呢？
就是 $h[4]-h[2]*131^2$

注意

1. 任意字符不可以映射成$0$，否则会出现不同的字符串都映射成$0$的情况，比如$A$,$AA$,$AAA$皆为$0$

2. 冲突问题：通过巧妙设置$P$($131$或$13331$) ,$Q$($2^{64}$)的值，一般可以理解为不产生冲突(玄学)。

$Q=2^{64}$这个取模动作在代码中没有出现过，这是因为采用了$unsinged \ long\ long$，它本身就是$2^{64}$,如果超过了这个数字，就直接自动溢出，起到了取模的作用。

问题是比较不同区间的子串是否相同，就转化为对应的哈希值是否相同。

求一个字符串的哈希值就类似于构建一维前缀和，求一个字符串的子串哈希值就相当于一维前缀和应用:

构建： $h[i]=h[i-1] \times P+s[i-1] \ \ \ i∈[1,n]$ $h$为前缀和数组，$s[i-1]$为字符串数组此位置字符对应的$ASCII$码。

应用： 查询$l,r$之间部分字符串的$hash=h[r]−h[l−1]×P^{r−l+1}$

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 100010;
const int P = 131;
int n, m;
string str;
ULL h[N], p[N];
ULL get(int l, int r) {
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}
int main() {
    cin >> n >> m >> str;
    p[0] = 1; // p^0=1,初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        p[i] = p[i - 1] * P;              // 基数
        h[i] = h[i - 1] * P + str[i - 1]; // 前缀和
    }
    while (m--) {
        int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
        if (get(l1, r1) == get(l2, r2))
            puts("Yes");
        else
            puts("No");
    }
    return 0;
}