AcWing 240. 食物链

$AcWing$ $240$. 食物链

一、题目描述

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。

现有 $N$ 个动物，以 $1∼N$ 编号。

每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 $N$
个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。
你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。

输入格式
第一行是两个整数 $N$ 和 $K$，以一个空格分隔。

以下 $K$ 行每行是三个正整数 $D$，$X$，$Y$，两数之间用一个空格隔开，其中 $D$ 表示说法的种类。

若 $D=1$，则表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

若 $D=2$，则表示 $X$ 吃 $Y$。

输出格式
只有一个整数，表示假话的数目。

数据范围
$1≤N≤50000$,$0≤K≤100000$

输入样例：

100 7
1 101 1 
2 1 2
2 2 3 
2 3 3 
1 1 3 
2 3 1 
1 5 5

输出样例：

3

本题目是一道非常好的并查集练习题，有两种并查集的解法，分别是扩展域并查集、带权并查集，下面分别进行介绍：

二、扩展域并查集

1、三点认知

• 两个同类元素的天敌集合是同一个集合，猎物集合也是同一个集合。

• 天敌的天敌是猎物 (因为是 食物环 嘛)

• 猎物的猎物是天敌 (因为是 食物环 嘛)

2、扩展域思想

$1\sim n$个元素扩大为$1\sim 3n$个元素，使用$[1 \sim 3n]$个并查集（每一个并查集中的所有元素都具有同一种特性，不同并查集中不存在相同元素）来维护$3n$元素彼此的关系。

为了形象化思考问题，我们假设三种动物，互为食物链：老鼠、大象、狐狸
关系为:

• 狐狸 杀死 老鼠
• 大象 拍死 狐狸
• 老鼠 钻鼻子 大象

在这里$x$元素，$x+n$元素，$x+2n$元素三者的关系被定义为：

• $x$元素的$p[x]$代表$x$家族

• $x+n$元素的$p[x+n]$代表$x$的天敌家族

• $x+2n$元素的$p[x+2n]$代表$x$的猎物家族

对于一句真话:

• 当$x$,$y$是同类

  • 将他们的天敌集合（$x+n$与$y+n$所在集合）合并
  • 将猎物集合（$x+2n$元素与$y+2n$元素所在集合）合并
  • 将$x,y$所在的集合 合并

• 当$x$是$y$的天敌

  • ① 将$x$家族与$y$的天敌家族合并
  • ② 将$y$家族和$x$的猎物家族合并
  • ③ 将$x$的天敌家族和$y$的猎物家族合并

3、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 150010;
int p[N];
int ans;
int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}
void join(int x, int y) {
    int f1 = find(x), f2 = find(y);
    if (f1 != f2) p[f1] = f2;
}
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= 3 * n; i++) p[i] = i; // 并查集初始化

    while (m--) {
        int x, y, t;
        cin >> t >> x >> y;
        // 说出大于n编号的动物，肯定是假话
        if (x > n || y > n) {
            ans++;
            continue;
        }
        if (t == 1) { // x和y同类
            if (find(x + n) == find(y) || find(x + 2 * n) == find(y)) {
                ans++;
                continue;
            }
            join(x, y);
            join(x + n, y + n);
            join(x + 2 * n, y + 2 * n);
        } else { // x吃y
                 // +n  天敌，+2n 食物
            if (find(x) == find(y) || find(x + n) == find(y)) {
                ans++;
                continue;
            }
            join(x, y + n);
            join(x + n, y + 2 * n);
            join(x + 2 * n, y);
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

二、带权并查集

功能：查询祖先+修改父节点为祖先+更新节点到根的距离（通过到父节点的距离累加和）
$d[i]$的含义：第 $i$ 个节点到其父节点距离。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 50010;
const int M = 3;

/**
 带权并查集：
 (1)不管是同类，还是吃与被吃的关系，都把它们放到同一个链中去
 (2)还没有关联关系的两条链,是两条彼此独立的链
 (3)同一个链中动物关系用距离根结点的长度来描述: 0:同类，1：吃, 2:被吃
 通过上面的记录关系，就可以推理出任何两个节点的关系
 */

int n, m;
int p[N]; // 家族
int d[N]; // i结点到父结点的距离
int res;  // 假话的个数

// 带权并查集find模板
// ① 需要将原始并查集的find模板一拆为二
// ② 在拆分的两句话中间，增加更新到父节点距离的代码
int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
        int t = find(p[x]);
        d[x] = (d[p[x]] + d[x]) % M; // 父亲到根据的距离+自己到父亲的距离=自己到根的距离
        p[x] = t;
    }
    return p[x];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    // 并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    // m个条件
    while (m--) {
        int t, x, y;
        cin >> t >> x >> y;
        // 如果出现x,y的序号，大于最大号，那么肯定是有问题，是假话
        if (x > n || y > n) {
            res++;
            continue;
        }
        // 祖先
        int px = find(x), py = find(y);

        if (t == 1) {                          // x,y同类
            if (px != py) {                    // 没有处理过 x,y的关系
                p[px] = py;                    // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
                d[px] = (d[y] - d[x] + M) % M; // x,y是同类，则d[px] + d[x]= 0 + d[y]
            } else if ((d[x] - d[y] + M) % M)  // 在同一个家族中，x,y同类,则d[x]=d[y],即d[x]-d[y]=0,不等于0，假话
                res++;
        }

        if (t == 2) {                              // x吃y
            if (px != py) {                        // 没有处理过x,y的关系
                p[px] = py;                        // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
                d[px] = (d[y] + 1 - d[x] + M) % M; // x吃y,则d[px]+d[x]-1=d[y]
            } else if ((d[x] - d[y] - 1 + M) % M)  // 在同一个家族中，x吃y,则d[x]-d[y]=1,即d[x]-d[y]-1=0，要是不等于0，假话
                res++;
        }
    }
    // 输出
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

代码解释：