AcWing 240. 食物链
\(AcWing\) \(240\). 食物链
一、题目描述
动物王国中有三类动物 \(A,B,C\)，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。
\(A\) 吃 \(B\)，\(B\) 吃 \(C\)，\(C\) 吃 \(A\)。
现有 \(N\) 个动物，以 \(1∼N\) 编号。
每个动物都是 \(A,B,C\) 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 \(N\)
个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是 1 X Y，表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
第二种说法是 2 X Y，表示 \(X\) 吃 \(Y\)。
此人对 \(N\) 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 \(K\) 句话，这 \(K\) 句话有的是真的，有的是假的。
当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中 \(X\) 或 \(Y\) 比 \(N\) 大，就是假话；
当前的话表示 \(X\) 吃 \(X\)，就是假话。
你的任务是根据给定的 \(N\) 和 \(K\) 句话，输出假话的总数。
输入格式
第一行是两个整数 \(N\) 和 \(K\)，以一个空格分隔。
以下 \(K\) 行每行是三个正整数 \(D\)，\(X\)，\(Y\)，两数之间用一个空格隔开，其中 \(D\) 表示说法的种类。
若 \(D=1\)，则表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
若 \(D=2\)，则表示 \(X\) 吃 \(Y\)。
输出格式
只有一个整数，表示假话的数目。
数据范围
\(1≤N≤50000\),\(0≤K≤100000\)
输入样例：
100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5
输出样例：
3
本题目是一道非常好的并查集练习题，有两种并查集的解法，分别是扩展域并查集、带权并查集，下面分别进行介绍：
二、扩展域并查集
1、三点认知
-
两个同类元素的天敌集合是同一个集合，猎物集合也是同一个集合。
-
天敌的天敌是猎物 (因为是 食物环 嘛)
-
猎物的猎物是天敌 (因为是 食物环 嘛)
2、扩展域思想
\(1\sim n\)个元素扩大为\(1\sim 3n\)个元素，使用\([1 \sim 3n]\)个并查集（每一个并查集中的所有元素都具有同一种特性，不同并查集中不存在相同元素）来维护\(3n\)元素彼此的关系。
为了形象化思考问题，我们假设三种动物，互为食物链：老鼠、大象、狐狸
关系为:
- 狐狸 杀死 老鼠
- 大象 拍死 狐狸
- 老鼠 钻鼻子 大象
在这里\(x\)元素，\(x+n\)元素，\(x+2n\)元素三者的关系被定义为：
-
\(x\)元素的\(p[x]\)代表\(x\)家族
-
\(x+n\)元素的\(p[x+n]\)代表\(x\)的天敌家族
-
\(x+2n\)元素的\(p[x+2n]\)代表\(x\)的猎物家族
对于一句真话:
-
当\(x\),\(y\)是同类
- 将他们的天敌集合（\(x+n\)与\(y+n\)所在集合）合并
- 将猎物集合（\(x+2n\)元素与\(y+2n\)元素所在集合）合并
- 将\(x,y\)所在的集合 合并
-
当\(x\)是\(y\)的天敌
- ① 将\(x\)家族与\(y\)的天敌家族合并
- ② 将\(y\)家族和\(x\)的猎物家族合并
- ③ 将\(x\)的天敌家族和\(y\)的猎物家族合并
3、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 150010;
int p[N];
int ans;
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void join(int x, int y) {
int f1 = find(x), f2 = find(y);
if (f1 != f2) p[f1] = f2;
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= 3 * n; i++) p[i] = i; // 并查集初始化
while (m--) {
int x, y, t;
cin >> t >> x >> y;
// 说出大于n编号的动物，肯定是假话
if (x > n || y > n) {
ans++;
continue;
}
if (t == 1) { // x和y同类
if (find(x + n) == find(y) || find(x + 2 * n) == find(y)) {
ans++;
continue;
}
join(x, y);
join(x + n, y + n);
join(x + 2 * n, y + 2 * n);
} else { // x吃y
// +n 天敌，+2n 食物
if (find(x) == find(y) || find(x + n) == find(y)) {
ans++;
continue;
}
join(x, y + n);
join(x + n, y + 2 * n);
join(x + 2 * n, y);
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
二、带权并查集
功能：查询祖先+修改父节点为祖先+更新节点到根的距离（通过到父节点的距离累加和）
\(d[i]\)的含义：第 \(i\) 个节点到其父节点距离。
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50010;
const int M = 3;
/**
带权并查集：
(1)不管是同类，还是吃与被吃的关系，都把它们放到同一个链中去
(2)还没有关联关系的两条链,是两条彼此独立的链
(3)同一个链中动物关系用距离根结点的长度来描述: 0:同类，1：吃, 2:被吃
通过上面的记录关系，就可以推理出任何两个节点的关系
*/
int n, m;
int p[N]; // 家族
int d[N]; // i结点到父结点的距离
int res; // 假话的个数
// 带权并查集find模板
// ① 需要将原始并查集的find模板一拆为二
// ② 在拆分的两句话中间，增加更新到父节点距离的代码
int find(int x) {
if (p[x] != x) {
int t = find(p[x]);
d[x] = (d[p[x]] + d[x]) % M; // 父亲到根据的距离+自己到父亲的距离=自己到根的距离
p[x] = t;
}
return p[x];
}
int main() {
cin >> n >> m;
// 并查集初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
// m个条件
while (m--) {
int t, x, y;
cin >> t >> x >> y;
// 如果出现x,y的序号，大于最大号，那么肯定是有问题，是假话
if (x > n || y > n) {
res++;
continue;
}
// 祖先
int px = find(x), py = find(y);
if (t == 1) { // x,y同类
if (px != py) { // 没有处理过 x,y的关系
p[px] = py; // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
d[px] = (d[y] - d[x] + M) % M; // x,y是同类，则d[px] + d[x]= 0 + d[y]
} else if ((d[x] - d[y] + M) % M) // 在同一个家族中，x,y同类,则d[x]=d[y],即d[x]-d[y]=0,不等于0，假话
res++;
}
if (t == 2) { // x吃y
if (px != py) { // 没有处理过x,y的关系
p[px] = py; // 记录x,y的关系，把两个链合并一下，px认py为家族族长
d[px] = (d[y] + 1 - d[x] + M) % M; // x吃y,则d[px]+d[x]-1=d[y]
} else if ((d[x] - d[y] - 1 + M) % M) // 在同一个家族中，x吃y,则d[x]-d[y]=1,即d[x]-d[y]-1=0，要是不等于0，假话
res++;
}
}
// 输出
printf("%d\n", res);
return 0;
}
代码解释：
