AcWing 143. 最大异或对

$AcWing$ $143$. 最大异或对

一、题目描述

在给定的 $N$ 个整数 $A_1，A_2……A_N$ 中选出两个进行 $xor$（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式
第一行输入一个整数 $N$。

第二行输入 $N$ 个整数 $A_1～A_N$。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围
$1≤N≤10^5,0≤Ai<2^{31}$

输入样例：

3
1 2 3

输出样例：

3

二、分析思路

先来思考暴力怎么做:

// 最大异或对,用暴力是超时的
// 通过了 6/10个数据
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N];
int res;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            res=max(res,a[i]^a[j]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

结果不出意外，$TLE$,只能想办法进行优化

$Trie$树思路

1、将整数解析为二进制数，即有符号整数，$31$位，就是$0-30$，按$Trie$树进行存储, 整数的$Trie$树存储。

2、每个数字的每一个二进制位，需要从高位到低位，即for(int i = 30; i >= 0; i--)，想像一下你在构建一个$Trie$树，那么根$root$就是最高位，然后一路走到$31$位，就是最低位。

3、每个数字想要找到与自己形成最大异或值的另一个数字，我们现在已经把它们保存到$Trie$树里了，那怎么找呢？什么样的两个数字才是最大异或值的对呢？就是每一位完全相反的就肯定是最大的异或对！那如果某一位相反的结点并不存在呢？这就是退而求其次的思路了，我们尽量从左到右找出与当前数字本位相反的路径，如果存在，就继续探索，如果不存在，那就使用一样的本位值。这样下来，到$31$位，就可以找到和自己匹配最大的异或值。

总结一下

• $Trie$里可以用来保存数字，数字需要通过二进制（由高位到低位）进行保存。

• 增加一个数字进来，其实就是增加了一个层级为$31$级的 模拟字符串

• 放入一个数字，那么它肯定会在任意一级（共$31$级）存在一边，另一边可能存在，也可能不存在。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
const int M = N * 31;

int n, res;
int a[N];
int tr[M][2];
int idx;

// 构建数字二进制位的Trie树
void insert(int x) {
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {
        int u = (x >> i) & 1;            // 取出当前位的值
        if (!tr[p][u]) tr[p][u] = ++idx; // 构建Trie树
        p = tr[p][u];
    }
}

// 所谓与x异或最大，就是利求在高位上尽量不一样，如果找不到不一样的，就只能找一样的，下一个继续优先找不一样的
// 在Trie树中查找到与x异或最大的数
int query(int x) {
    int p = 0, ans = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {
        int u = (x >> i) & 1; // 取出x的当前二进制位
        if (tr[p][!u]) {      // 如果存在可以异或的路可以走的话,尽量先走
            p = tr[p][!u];
            ans = ans * 2 + !u; // 还原二进制数字为十进制
        } else {
            p = tr[p][u];      // 否则只能走与自己本位一样的路线
            ans = ans * 2 + u; // 还原二进制数字为十进制
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], insert(a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = query(a[i]);
        res = max(res, a[i] ^ t);
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

五、对于一维数据范围的思考

无论是模板题还是最大异或对着一题
都有这么一行代码
if (!tr[p][u]) tr[p][u] = ++ idx; p = tr[p][u];

所以我们可以知道，$tr$数组的一维下标最大值的选取实际上是跟$idx$能够自增多少次来决定的

$AcWing$ $835$. $Trie$字符串统计 中，输入的字符串总长度不超过 $10^5$，所以一维值选取$1e5+10$

而在 $AcWing$ $143$. 最大异或对 中，数字需要以$2$进制进行表示，而每个数字最大为$2$的$31$次幂,所以一维下标应为数字的个数*$31$。