一、题目描述

给定一个字符串 \(S\)，以及一个模式串 \(P\)，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模式串 \(P\) 在字符串 \(S\) 中多次作为子串出现。

求出模式串 \(P\) 在字符串 \(S\) 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式
第一行输入整数 \(N\)，表示字符串 \(P\) 的长度。

第二行输入字符串 \(P\)。

第三行输入整数 \(M\)，表示字符串 \(S\) 的长度。

第四行输入字符串 \(S\)。

输出格式
共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 \(0\) 开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围
\(1≤N≤10^5\)

\(1≤M≤10^6\)

输入样例：

3
aba
5
ababa

输出样例：

0 2

二、暴力解法

解决子串匹配的暴力算法很容易，子串的首部和字符串的第 \(i\) 个对齐，开始匹配，直到匹配成功或者匹配失败；如果匹配失败，则子串的首部需要和字符串的第 \(i+1\) 个对齐，并重新开始匹配:

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实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int find(string p, string s) {
    int n = s.size(), i = 0;
    int m = p.size(), j = 0;

    for (i = 0; i <= n - m; i++) {
        for (j = 0; j < m; j++)
            if (p[j] != s[i + j]) break;
        if (j == m) return i;
    }
    return -1;
}

int main() {
    string txt = "aaacaaab", pat = "aaab";
    cout << find(pat, txt) << endl;
    // 答案：4
    // 表示从索引号为4开始存在第一个匹配
    return 0;
}

三、 \(KMP\) 算法

\(KMP\) 算法，通常用于在一个 文本字符串\(S\) 中查找一个 匹配串\(P\) 的 出现位置 和 出现次数。

动画展示

步骤说明

步骤一
判断此时的\(i,j\)是否超出各自字符串的限制:
- 若\(j\)超出\(P\)的限制则退出并返回匹配成功处的位置下标,表示完成了子串的完整匹配
- 若\(i\)超出\(S\)的限制，则退出并说明无解
- 比较\(S[i]\),\(P[j]\):
  - 若\(S[i]==P[j]\)或者\(j==−1\)，则\(i + + , j + +\)，重复步骤一
  - 若\(S[i]\neq P[j]\)，进入步骤二
步骤二
失配时，\(i\)不变,\(j=ne[j]\),进入步骤一

\(Q:ne\)数组是怎么生成的？

假设一个 模式串 长度为\(n\),则存在\(n\)个前缀与\(n\)个后缀，舍去其中长度为\(n\)的情况，则剩下\(n − 1\)个前缀与\(n−1\)个后缀，前缀与后缀的最大匹配就是该字符串的最长公共前缀后缀长度, \(ne[i]\)代表的就是前\(i\)个字符组成的子串中，最长公共前后缀的长度

由上可知，\(ne\)的最小值就是\(0\)（不包括第一个位置哨兵位置的\(−1\)）

比如说当前字符串为\(A B C D A B\)

则有：

当失配时，\(j=ne[j]\)，充分利用已知信息，找出模式串中最值得再次匹配的位置

求\(ne\)数组和\(kmp\)很相似，相当于自己找自己的匹配串\(ne[1] = 0\);下标从\(2\)开始,紧扣定义。

四、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;  // 模板串最大长度限制
const int M = 1000010; // 模式串最大长度限制

int n;     // 短串长度
int m;     // 长串长度
int ne[N]; // next数组
char s[M]; // 长串
char p[N]; // 短串

int main() {
    cin >> n >> (p + 1) >> m >> (s + 1);
    // 一、求ne数组
    // i:当前试图进行匹配的S串字符，j+1是模板串当前试图与S串i位置进行匹配的字符
    // j:表示已匹配的长度，一直都在尝试让j+1位和i位进行匹配,退无可退，无需再退。
    // i:是从2开始的，因为ne[1]=0,表示第1个不匹配，只能重头开始，不用算
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        // 记录j到ne数组中
        ne[i] = j;
    }

    // 二、匹配字符串
    // i:当前试图进行对比的S串位置
    // j:最后一个已完成匹配的P串位置，那么，当前试图与S串当前位置i进行尝试对比匹配的位置是j+1
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 不行就退吧,当j==0时，表示退无可退，无需再退
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (s[i] == p[j + 1]) j++; // 匹配则指针前行，i不用++，因为它在自己的for循环中，自带++
        if (j == n) {              // 如果匹配到最大长度，说明完成了所有位置匹配
            printf("%d ", i - n);  // 输出开始匹配位置
            j = ne[j];             // 回退，尝试继续进行匹配，看看还有没有其它可以匹配的位置
        }
    }
    return 0;
}