一、题目描述

给定一个字符串 $S$ ，以及一个模式串 $P$ ，所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。

模式串 $P$ 在字符串 $S$ 中多次作为子串出现。

求出模式串 $P$ 在字符串 $S$ 中所有出现的位置的起始下标。

输入格式
第一行输入整数 $N$ ，表示字符串 $P$ 的长度。

第二行输入字符串 $P$ 。

第三行输入整数 $M$ ，表示字符串 $S$ 的长度。

第四行输入字符串 $S$ 。

输出格式
共一行，输出所有出现位置的起始下标（下标从 $0$ 开始计数），整数之间用空格隔开。

数据范围
$1≤N≤10^5$

$1≤M≤10^6$

输入样例：

3
aba
5
ababa

输出样例：

0 2

二、暴力解法

解决子串匹配的暴力算法很容易，子串的首部和字符串的第 $i$ 个对齐，开始匹配，直到匹配成功或者匹配失败；如果匹配失败，则子串的首部需要和字符串的第 $i+1$ 个对齐，并重新开始匹配:

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实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int find(string p, string s) {
    int n = s.size(), i = 0;
    int m = p.size(), j = 0;

    for (i = 0; i <= n - m; i++) {
        for (j = 0; j < m; j++)
            if (p[j] != s[i + j]) break;
        if (j == m) return i;
    }
    return -1;
}

int main() {
    string txt = "aaacaaab", pat = "aaab";
    cout << find(pat, txt) << endl;
    // 答案：4
    // 表示从索引号为4开始存在第一个匹配
    return 0;
}

三、 $KMP$ 算法

$KMP$ 算法，通常用于在一个 文本字符串 $S$ 中查找一个 匹配串 $P$ 的 出现位置 和 出现次数。

动画展示

步骤说明

步骤一
判断此时的 $i,j$ 是否超出各自字符串的限制:
- 若 $j$ 超出 $P$ 的限制则退出并返回匹配成功处的位置下标,表示完成了子串的完整匹配
- 若 $i$ 超出 $S$ 的限制，则退出并说明无解
- 比较 $S[i]$ , $P[j]$ :
  - 若 $S[i]==P[j]$ 或者 $j==−1$ ，则 $i + + , j + +$ ，重复步骤一
  - 若 $S[i]\neq P[j]$ ，进入步骤二
步骤二
失配时， $i$ 不变, $j=ne[j]$ ,进入步骤一

$Q:ne$ 数组是怎么生成的？

假设一个 模式串 长度为 $n$ ,则存在 $n$ 个前缀与 $n$ 个后缀，舍去其中长度为 $n$ 的情况，则剩下 $n − 1$ 个前缀与 $n−1$ 个后缀，前缀与后缀的最大匹配就是该字符串的最长公共前缀后缀长度, $ne[i]$ 代表的就是前 $i$ 个字符组成的子串中，最长公共前后缀的长度

由上可知， $ne$ 的最小值就是 $0$ （不包括第一个位置哨兵位置的 $−1$ ）

比如说当前字符串为 $A B C D A B$

则有：

当失配时， $j=ne[j]$ ，充分利用已知信息，找出模式串中最值得再次匹配的位置

求 $ne$ 数组和 $kmp$ 很相似，相当于自己找自己的匹配串 $ne[1] = 0$ ;下标从 $2$ 开始,紧扣定义。

四、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;  // 模板串最大长度限制
const int M = 1000010; // 模式串最大长度限制

int n;     // 短串长度
int m;     // 长串长度
int ne[N]; // next数组
char s[M]; // 长串
char p[N]; // 短串

int main() {
    cin >> n >> (p + 1) >> m >> (s + 1);
    // 一、求ne数组
    // i:当前试图进行匹配的S串字符，j+1是模板串当前试图与S串i位置进行匹配的字符
    // j:表示已匹配的长度，一直都在尝试让j+1位和i位进行匹配,退无可退，无需再退。
    // i:是从2开始的，因为ne[1]=0,表示第1个不匹配，只能重头开始，不用算
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (p[i] == p[j + 1]) j++;
        // 记录j到ne数组中
        ne[i] = j;
    }

    // 二、匹配字符串
    // i:当前试图进行对比的S串位置
    // j:最后一个已完成匹配的P串位置，那么，当前试图与S串当前位置i进行尝试对比匹配的位置是j+1
    for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 不行就退吧,当j==0时，表示退无可退，无需再退
        // 如果是匹配情况发生了，那么j移动到下一个位置
        if (s[i] == p[j + 1]) j++; // 匹配则指针前行，i不用++，因为它在自己的for循环中，自带++
        if (j == n) {              // 如果匹配到最大长度，说明完成了所有位置匹配
            printf("%d ", i - n);  // 输出开始匹配位置
            j = ne[j];             // 回退，尝试继续进行匹配，看看还有没有其它可以匹配的位置
        }
    }
    return 0;
}