AcWing 3302. 表达式求值
\(AcWing\) \(3302\). 表达式求值
一、题目描述
给定一个表达式，其中运算符仅包含 +,-,*,/（加 减 乘 整除），可能包含括号，请你求出表达式的最终值。
注意：
- 数据保证给定的表达式合法。
- 题目保证符号 \(-\)只作为减号出现，不会作为负号出现，例如，\(-1+2,(2+2)*(-(1+1)+2)\) 之类表达式均不会出现。
- 题目保证表达式中所有数字均为正整数。
- 题目保证表达式在中间计算过程以及结果中，均不超过 \(2^{31}−1\)。
- 题目中的整除是指向 \(0\) 取整，也就是说对于大于 \(0\) 的结果向下取整，例如 \(5/3=1\)
，对于小于 \(0\) 的结果向上取整，例如 \(5/(1−4)=−1\)。 - \(C++\)和\(Java\)中的整除默认是向零取整；\(Python\)中的整除//默认向下取整，因此\(Python\)的\(eval()\)函数中的整除也是向下取整，在本题中不能直接使用。
输入格式
共一行，为给定表达式。
输出格式
共一行，为表达式的结果。
数据范围
表达式的长度不超过 \(10^5\)。
输入样例：
(2+2)*(1+1)
输出样例：
8
二、算法思路
同类题参考：
\(CSP\) \(2022\) \(J2\) 试卷解析 第\(3\)题
先看下只有 + 和 * 的。
输入长度为\(n\)的字符串，例如：$ 1 + 2 + 3 * 4 * 5$
输出表达式的值，即：\(63\)
“表达式求值”问题，两个核心关键点：
- 双栈，一个操作数栈，一个运算符栈；
- 运算符优先级:"栈顶运算符"与"即将入栈的运算符"的优先级比较：
- 如果栈顶的运算符优先级低，新运算符直接入栈。
- 如果栈顶的运算符优先级高，先出栈计算，新运算符再入栈。
举个栗子
\(1+2+3 * 4 *5\)，看是如何利用上述两个关键点实施计算的。
首先，这个例子只有+和*两个运算符，所以它的运算符表是：
（1）如果栈顶是+，即将入栈的是+，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；
（2）如果栈顶是+，即将入栈的是*，栈顶优先级低，直接入栈；
（3）如果栈顶是*，即将入栈的是+，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；
（4）如果栈顶是*，即将入栈的是*，栈顶优先级高，需要先计算，再入栈；
有了运算符表，一切就好办了。
一开始，初始化好输入的字符串，以及操作数栈，运算符栈。
一步步，扫描字符串，操作数一个个入栈，运算符也入栈。
下一个操作符要入栈时，需要先比较优先级。
栈内的优先级高，必须先计算，才能入栈。
计算的过程为：
（1）操作数出栈，作为\(num2\)；
（2）操作数出栈，作为\(num1\)；
（3）运算符出栈，作为\(op\)；
（4）计算出结果；
（5）结果入操作数栈；
接下来，运算符和操作数才能继续入栈。下一个操作符要入栈时，继续比较与栈顶的优先级。
栈内的优先级低，可以直接入栈。
字符串继续移动。
又要比较优先级了。
栈内的优先级高，还是先计算（3*4=12），再入栈。
不断入栈，直到字符串扫描完毕。
不断出栈，直到得到最终结果\(3+60=63\)，算法完成。
这个方法的时间复杂度为\(O(n)\)，整个字符串只需要扫描一遍。
运算符有\(+\)、 \(-\)、\(*\)、 \(/\)、 \((\)、 \()\)、 \(\{\) 、 \(\}\) 都没问题，如果共有\(n\)个运算符，会有一个\(n*n\)的优先级表。
小结
-
运算符优先级表
-
左括号直接入操作符栈，右括号不入操作符栈，看到右括号，就不断的处理操作符栈，直到看到左括号，再把左括号弹出。
-
抽象出从一个字符串中读取数字的办法。
-
抽象出两个数字通过数字栈、操作符栈进行计算的通用办法。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
stack<int> num; // 数字栈
stack<char> op; // 操作符栈
// 优先级表
unordered_map<char, int> h{{'+', 1}, {'-', 1}, {'*', 2}, {'/', 2}, {'(', 0}};
/**
* 功能：计算两个数的和差积商
*/
void eval() {
int a = num.top(); // 第二个操作数
num.pop();
int b = num.top(); // 第一个操作数
num.pop();
char p = op.top(); // 运算符
op.pop();
int r; // 结果
// 计算结果
if (p == '+')
r = b + a;
else if (p == '-')
r = b - a;
else if (p == '*')
r = b * a;
else if (p == '/')
r = b / a;
// 结果入栈
num.push(r);
}
int main() {
// 读入表达式
string s;
cin >> s;
// 遍历字符串的每一位
for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
// ① 如果是数字，则入栈
if (isdigit(s[i])) {
// 读出完整的数字
int x = 0;
while (i < s.size() && isdigit(s[i])) {
x = x * 10 + s[i] - '0';
i++;
}
i--; // 加多了一位，需要减去
num.push(x); // 数字入栈
}
// ② 左括号无优先级，入栈
else if (s[i] == '(')
op.push(s[i]);
// ③ 右括号时，需计算最近一对括号里面的值
else if (s[i] == ')') {
// 从栈中向前找，一直找到左括号
while (op.top() != '(') eval(); // 将左右括号之间的计算完，维护回栈里
// 左括号出栈
op.pop();
} else { // ④ 运算符
// 如果待入栈运算符优先级低，则先计算
while (op.size() && h[op.top()] >= h[s[i]]) eval();
op.push(s[i]); // 操作符入栈
}
}
while (op.size()) eval(); // ⑤ 剩余的进行计算
printf("%d\n", num.top()); // 输出结果
return 0;
}
