AcWing 801. 二进制中1的个数

\(AcWing801\). 二进制中\(1\)的个数

一、题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

输入格式
第一行包含整数 \(n\)。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示整个数列。

输出格式
共一行，包含 \(n\) 个整数，其中的第 \(i\) 个数表示数列中的第 \(i\) 个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

数据范围
\(1≤n≤100000,0≤数列中元素的值≤10^9\)

输入样例：

5
1 2 3 4 5

输出样例：

1 1 2 1 2

二、前导知识

位运算中有两个重要性质：

一、\(x\&(-x)\)

保留二进制下最后出现的\(1\)的位置，其余位置置\(0\)

演示一下 \(x\&(-x)\) 的计算过程：
对于 \(x = 10\) (二进制：\(00001010\))：

1. 求 \(-x\) 的过程：

x         = 00001010
取反(~x)  = 11110101
加1       = 11110110  (-x的最终值)

x&(-x)    = 00001010
          & 11110110
          = 00000010  (结果)

\(x = 10\) 的二进制表示中，最右边的\(1\)在第\(2\)位（从右往左数，从\(1\)开始） \(x\&(-x) = 2\)，正好是这个位置对应的值。

封装函数：

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

二、\(x\&(x-1)\)

消除二进制下最后出现\(1\)的位置，其余保持不变

假设 \(x = 52\)，其二进制表示为：

x    = 52  = 00110100
x-1  = 51  = 00110011
x & (x-1)  = 00110000 = 48

工作原理：
当我们将一个数减\(1\)时，从最右边的\(1\)开始，这一位变成0，而它右边的所有\(0\)都变成\(1\)
当我们将原数和减\(1\)后的数做与运算时，最右边的\(1\)及其右边的所有位都会变成\(0\)，而左边的位保持不变
这就是为什么这个技巧常用于：

• 计算二进制中\(1\)的个数（每操作一次消除一个\(1\)）

• 判断一个数是否是\(2\)的幂（如果是\(2\)的幂，执行一次后就变成\(0\)）

while (x) {
    x = x & (x - 1);  // 每次操作消除最右边的1
    cnt++;            // 记录操作次数，就是1的个数
}

这个方法比直接遍历\(32\)位要高效，因为它的循环次数等于二进制中\(1\)的个数，而不是固定的\(32\)次。

三、练习\(x\&(x-1)\)

求下面函数的返回值 (微软)

int func(x) { 
    int countx = 0; 
    while(x){ 
          countx ++; 
          x = x & (x-1); 
     } 
    return countx; 
} 

功能：将\(x\)转化为\(2\)进制，看含有的\(1\)的个数。

注: 每执行一次\(x = x\&(x-1)\)，会将\(x\)用二进制表示时最右边的一个\(1\)变为\(0\)，因为\(x-1\)将会将该位(\(x\)用二进制表示时最右边的一个\(1\))变为\(0\)。

判断一个数\(x\)是否是\(2\)的\(n\)次方

#include <bits/stdc++.h>
int func(int x){
    if((x & (x-1)) == 0)
        return 1;
    else
        return 0;
}
 
int main(){
    int x = 8;
    printf("%d\n", func(x));
    return 0;
}

思路
如果一个数是\(2\)的\(n\)次方，那么这个数用二进制表示时其最高位为\(1\)，其余位为\(0\)。

四、利用 \(x\&-x\)

#include <iostream>
using namespace std;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;

        int res = 0;
        while (x) x -= lowbit(x), res++;

        printf("%d ", res);
    }
    return 0;
}

五、利用 \(x \& (x-1)\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int cnt = 0;
        int x;
        cin >> x;
        while (x) {
            x = x & (x - 1);
            cnt++;
        }
        printf("%d ",cnt);
    }
    return 0;
}

六、遍历每一个二进制位

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int cnt = 0;
        int x;
        cin >> x;
        for (int i = 0; i < 32; i++)
            if (x >> i & 1) cnt++;
        cout << cnt << " ";
    }
    return 0;
}