AcWing 801. 二进制中1的个数

$AcWing801$. 二进制中$1$的个数

一、题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 $1$ 的个数。

输入格式
第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整个数列。

输出格式
共一行，包含 $n$ 个整数，其中的第 $i$ 个数表示数列中的第 $i$ 个数的二进制表示中 $1$ 的个数。

数据范围
$1≤n≤100000,0≤数列中元素的值≤10^9$

输入样例：

5
1 2 3 4 5

输出样例：

1 1 2 1 2

二、前导知识

位运算中有两个重要性质：

一、$x\&(-x)$

保留二进制下最后出现的$1$的位置，其余位置置$0$

演示一下 $x\&(-x)$ 的计算过程：
对于 $x = 10$ (二进制：$00001010$)：

1. 求 $-x$ 的过程：

x         = 00001010
取反(~x)  = 11110101
加1       = 11110110  (-x的最终值)

x&(-x)    = 00001010
          & 11110110
          = 00000010  (结果)

$x = 10$ 的二进制表示中，最右边的$1$在第$2$位（从右往左数，从$1$开始） $x\&(-x) = 2$，正好是这个位置对应的值。

封装函数：

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

二、$x\&(x-1)$

消除二进制下最后出现$1$的位置，其余保持不变

假设 $x = 52$，其二进制表示为：

x    = 52  = 00110100
x-1  = 51  = 00110011
x & (x-1)  = 00110000 = 48

工作原理：
当我们将一个数减$1$时，从最右边的$1$开始，这一位变成0，而它右边的所有$0$都变成$1$
当我们将原数和减$1$后的数做与运算时，最右边的$1$及其右边的所有位都会变成$0$，而左边的位保持不变
这就是为什么这个技巧常用于：

• 计算二进制中$1$的个数（每操作一次消除一个$1$）

• 判断一个数是否是$2$的幂（如果是$2$的幂，执行一次后就变成$0$）

while (x) {
    x = x & (x - 1);  // 每次操作消除最右边的1
    cnt++;            // 记录操作次数，就是1的个数
}

这个方法比直接遍历$32$位要高效，因为它的循环次数等于二进制中$1$的个数，而不是固定的$32$次。

三、练习$x\&(x-1)$

求下面函数的返回值 (微软)

int func(x) { 
    int countx = 0; 
    while(x){ 
          countx ++; 
          x = x & (x-1); 
     } 
    return countx; 
} 

功能：将$x$转化为$2$进制，看含有的$1$的个数。

注: 每执行一次$x = x\&(x-1)$，会将$x$用二进制表示时最右边的一个$1$变为$0$，因为$x-1$将会将该位($x$用二进制表示时最右边的一个$1$)变为$0$。

判断一个数$x$是否是$2$的$n$次方

#include <bits/stdc++.h>
int func(int x){
    if((x & (x-1)) == 0)
        return 1;
    else
        return 0;
}
 
int main(){
    int x = 8;
    printf("%d\n", func(x));
    return 0;
}

思路
如果一个数是$2$的$n$次方，那么这个数用二进制表示时其最高位为$1$，其余位为$0$。

四、利用 $x\&-x$

#include <iostream>
using namespace std;

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;

        int res = 0;
        while (x) x -= lowbit(x), res++;

        printf("%d ", res);
    }
    return 0;
}

五、利用 $x \& (x-1)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int cnt = 0;
        int x;
        cin >> x;
        while (x) {
            x = x & (x - 1);
            cnt++;
        }
        printf("%d ",cnt);
    }
    return 0;
}

六、遍历每一个二进制位

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int cnt = 0;
        int x;
        cin >> x;
        for (int i = 0; i < 32; i++)
            if (x >> i & 1) cnt++;
        cout << cnt << " ";
    }
    return 0;
}