AcWing 790. 数的三次方根

\(AcWing\) \(790\). 数的三次方根

一、题目描述

给定一个浮点数 \(n\)，求它的三次方根。

输入格式
共一行，包含一个浮点数 \(n\)。

输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 \(6\) 位小数。

数据范围
\(−10000≤n≤10000\)
输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

二、理解与感悟

浮点数二分还是很简单的，最开始使劲设置最大和最小，精度一般设为\(1e-8\),然后根据条件写\(check()\),发现符合就向左或向右逼近，直到结果的差，精度在可以接受的范围内，完事。

三、C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const double eps = 1e-8;
int main() {
    double x;
    cin >> x;
    cin >> x;

    double l = -10000, r = 10000;
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2; // 注意：浮点数这里不能用右移1位！！
        if (mid * mid * mid > x)
            r = mid; // mid>x后面没有"="
        else
            l = mid;
    }
    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}

四、牛顿迭代法

如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法？

概述

牛顿迭代法 是非常高效的求解方程的根的方法。其求解原理可以参考各文献。大体的思路如下：

通过不断地做切线来逼近真实的根，直到误差小于精度。

可得迭代公式：

\[\large x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

通过这种不断地做切线的方法，直到 \(∣x_n − x_∗∣ <\) 给定的精度，在误差范围内可以认为 \(x_n\) 就是方程的根了。

牛顿法求平法根

假设我们要求解\(n\)的平方根，那么我们可以构建函数\(f(x)=x^2-n\)。那么方程 \(x^2-n=0\) 的理论根为 \(x=\sqrt{n}\) ，即求解这个方程得到的根就是求的\(n\)的平方根。

例如求\(5\)的平方根，那么可以构建函数 \(f(x)=x^2-5\)，方程 \(x^2-5=0\) 的理论根即为 \(\sqrt{5}\) ，在误差范围内，用牛顿法求解出方程 \(x^2-5=0\) 的根即可认为是\(5\)的平方根。

迭代公式

构建函数
\(f(x)=x^2-n\)

那么有：
\(f'(x)=2x\)

根据牛顿法的迭代公式有：
\(\large x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^2-n}{2x_n}=\frac{x_n+n/x_n}{2}\)

牛顿法求多次方根

跟求平方根同理，只是构建的函数不同，例如求解\(m\)次方根，那么就需要构建函数

\(f(x)=x^m −n\)

那么就有：
\(f'(x)=m∗x^{m−1}\)

根据牛顿法的迭代公式有：

\(\huge x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}= x_n-\frac{x_n^m-n}{m*x_n^{m-1}}\)

例如求解\(n\)的\(3\)次方根，那么就有：

\(\huge x_{n+1}=x_n − \frac{x_n^3-n}{3*x_n^2}​=\frac{2x_n^3+n}{3*x_n^2}\)

例如求解\(n\)的\(4\)次方根，那么就有：

\(\huge x_{n+1}=x_n − \frac{x_n^4-n}{4*x_n^3}​=\frac{3x_n^4+n}{4*x_n^3}\)

...

以此类推

实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*
浮点数不能太大，10000>=a>=-10000
*/

double sqrt(int n) {
    double x = n;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) x = (x * x + n) / (2 * x);
    return x;
}

double sqrt3(int n) {
    double x = n;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) x = (2 * x * x * x + n) / (3 * x * x);
    return x;
}

double sqrt4(int n) {
    double x = n;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) x = (3 * x * x * x * x + n) / (4 * x * x * x);
    return x;
}

double sqrt5(int n) {
    double x = n;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) x = (4 * x * x * x * x * x + n) / (5 * x * x * x * x);
    return x;
}

int main() {
    // 求n的平方根和立方根
    double n;
    cin >> n;

    // 平方根
    printf("%.6lf\n", sqrt(n));

    // 立方根
    printf("%.6lf\n", sqrt3(n));

    // 4次方根
    printf("%.6lf\n", sqrt4(n));

    // 5次方根
    printf("%.6lf\n", sqrt5(n));

    return 0;
}