欧拉函数专题

欧拉函数专题

一、定义

定义：欧拉函数是小于$n$的数中与$n$互质的数的数目。

例如$\large φ(8)=4$，因为$\large 1,3,5,7$均和$\large 8$互质。

解释：$1$和$8$是互质的。互质是指两个数的最大公约数为$1$，而$1$和$8$的最大公约数就是$1$，因此它们是互质的

二、公式

如果$n$的唯一分解式： $$\large n=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot...\cdot p_k^{r_k}$$
有：

$$\large φ(n)= n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2} \times ... \times \frac{p_k-1}{p_k}$$

还是上面的栗子：

$$\large 8=2^3$$

$$\large φ(8)=8*(1-\frac{1}{2})=4$$

小结
下面三个公式，都需要依赖唯一分解定理：

$$\large n=p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot...\cdot p_k^{r_k}$$

• ① 约数个数：只与幂次相关，与质因子无关
  约数个数$=(1+r_1)\times (1+r_2) \times...\times (1+r_k)$
  
  
• ② 约数和：与质数子和幂次都相关
  约数和= $(p_1^0+p_1^1+p_1^2+...+p_1^{r_1}) \times (p_2^0+p_2^1+p_2^2+...+p_2^{r_1}) \times ... \times (p_k^0+p_k^1+p_k^2+...+p_k^{r_k})$
  
  
• ③ 欧拉函数公式，只与因子相关，与指数无关！
  欧拉函数=$n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2} \times ... \times \frac{p_k-1}{p_k}$

三、欧拉函数公式证明

欧拉函数的证明是使用的融斥原理，从定义出发：

定义：欧拉函数是小于$n$的数中与$n$互质的数的数目。

• ① 对数字$n$进行质因数分解：

$$\large n={p_1}^{r_1} \cdot {p_2}^{r_2} \cdot {p_3}^{r_3} \cdot ... \cdot {p_k}^{r_k}$$

• ② 如果一个数包含了$\large p_1$这个因子，那么它肯定与$n$不互质，因为有$\large p_1$这个公因子嘛，换句话说，就是要想与$n$互质，那么一定不能包含$\large p_1,p_2,...,p_k$这些因子。

小于$n$的所有数字中，如果它包含了$\large p_1,p_2,...,p_k$这样的因子的话，那么它就与$n$不互质，换句话说，只要把小于$n$之内，所有包含$\large p_1,p_2,..p_k$的数字都干掉，剩下的就是与$n$互质的数。所谓包含$\large p_1,p_2,..,p_k$其实也就是 $\large p_1,p_2,..,p_k$的整数倍。

• 把$\large p_1$的倍数从$\large n$中减去，那需要减去多少个呢？

答：$\large \displaystyle \left \lfloor \frac{n}{p_1} \right \rfloor$个.

注：这里想不明白的话，可以举个栗子：比如$n=10$，$p_1=2$,有几个$p_1$的倍数呢？$5$个!为什么呢？

$$\large \displaystyle \left \lfloor \frac{10}{2} \right \rfloor=5$$

• ③ 把$\large p_2,p_3,...,p_k$的倍数都减去吧，分别减去$\large \left \lfloor \frac{n}{p_2}\right \rfloor$,$\large \left \lfloor \frac{n}{p_3}\right \rfloor$,...,$\large \left \lfloor \frac{n}{p_k}\right \rfloor$个。

• ④ 这么干是减多了的，比如某个数，是$\large p_2$的倍数，也是$\large p_3$的倍数，就减了两回，还需要再加回来$\large p_i * p_j$的倍数，就是 + $\large \frac{n}{p_1 * p_2}$+ $\large \frac{n}{p_1 * p_3}$+ $\large \frac{n}{p_1 * p_k}$+ ....

-⑤ 将公式$\large \phi(n)=n * (1-\frac{1}{p_1}) * (1-\frac{1}{p_2}) * (1-\frac{1}{p_3}) * ... * (1-\frac{1}{p_k})$展开，发现就是上面的东东了，证毕。

变形：
$\large \phi(n)=n * (1-\frac{1}{p_1}) * (1-\frac{1}{p_2}) * (1-\frac{1}{p_3}) * ... * (1-\frac{1}{p_k}) \\ \Leftrightarrow \\ \phi(n)=n * (\frac{p_1-1}{p_1}) * (\frac{p_2-1}{p_2}) * (\frac{p_3-1}{p_3}) * ... * (\frac{p_k-1}{p_k})$

四、求单个数字的欧拉函数

$AcWing$ $873$. 欧拉函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 求单个数的欧拉函数值
int phi(int x) {
    int res = x;
    // 不要写在i*i<=x, 可能会造成爆int
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        if (x % i == 0) {              // 暴力枚举所有因子
            res = res / i * (i - 1);   // 套一下欧拉函数公式
            while (x % i == 0) x /= i; // 只与质因子有关，与幂次无关，应除尽除
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1); // 最后一个大因子
    return res;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        printf("%d\n", phi(x));
    }
    return 0;
}

五、线性筛法求欧拉函数

依托于线性筛法，可以顺带求出欧拉函数值。如果对数论了解更多，会知道线性筛法还可以求出很多其它的东西。

• $phi[1]=1$。
  $φ(1)$被定义为$1$

对区间内每个数进行分情况讨论：

• 如果这个数是质数，那么质数$i$的欧拉函数值是$phi[i]=i-1$
  比如$7$，那么$1-6$当中有多少个数与$7$互质呢？显然$6$个都是嘛。
  
  
• 如果这个数不是质数，那么数字$i$在被$primes[j]$尝试筛的过程中：(这里设 $p_j=primes[j]$以简便下面的书写)

推论$1$：如果$i\ \% \ p_j = 0$, 那么 $phi[i \times p_j] = phi[i] \times p_j$

证明：
$\large \because i={p_1}^{r_1} * {p_2}^{r_2} * {p_3}^{r_3} * ... *{p_j}^{r_j}*...*{p_k}^{r_k}$ 【算术基本定理】

$i \times p_j$分解质数因数的结果，只比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j = 0$ 说明$i$中存在$p_j$因子，只不过指数增加了$1$个。

$\large \therefore i \times p_j ={p_1}^{r_1} \times {p_2}^{r_2} \times {p_3}^{r_3} \times ... \times{p_j}^{r_j+1}\times...\times{p_k}^{r_k}$

$\large \phi{(i)}= i \times (1- \frac{1}{p_1}) \times (1- \frac{1}{p_2}) \times (1- \frac{1}{p_3}) \times ... \times (1- \frac{1}{p_j})$ 【欧拉公式】

我们发现，欧拉公式只与质数因子相关，而与质数因子的幂次无关！ 二者的质数因子没有变化，变化的只是某个质数因子的幂次。所以:

$\large \phi{(i \times p_j)} = i \times p_j \times (1- \frac{1}{p_1}) \times (1- \frac{1}{p_2}) \times (1- \frac{1}{p_3}) \times ... \times (1- \frac{1}{p_j}) = \phi{(i)} \times p_j$

证毕

推论$2$: 如果$i\ \% \ p_j > 0$, 那么 $phi[i \times p_j] = phi[i] \times (p_j-1)$

证明：
$\large \because i={p_1}^{r_1} * {p_2}^{r_2} * {p_3}^{r_3} * ... *{p_k}^{r_k}$

$\large \phi{(i)}= i \times (1- \frac{1}{p_1}) \times (1- \frac{1}{p_2}) \times (1- \frac{1}{p_3}) \times ... \times (1- \frac{1}{p_k})$

$p_j*i$分解质数因数的结果，只是比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j>0$ 说明$i$中不存在$p_j$这个因子，需要写上去。

$\large p_j \times i ={p_1}^{r_1} \times {p_2}^{r_2} \times {p_3}^{r_3} \times ... \times {p_k}^{r_k} \times {p_j}^{1}$

$\large \therefore \phi{(p_j * i)}= p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k}) * (1- \frac{1}{p_j})$

$\large \therefore \phi{(p_j * i)}= p_j \times \phi{(i)} \times (1 - \frac{1}{p_j}) = \phi{(i)} \times ( p_j -1)$

【证毕】

$AcWing$ $874$. 筛法求欧拉函数

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;

// 筛法求欧拉函数
// 这个东西就在欧兰筛的基础上，加上题解中证明的公式，只能是背下来，没有别的办法
int primes[N], phi[N], st[N];
int cnt, res;
void get_eulers(int n) {
    phi[1] = 1; // 1的欧拉函数值是1，这个是递推的起点
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1; // ①质数,则phi(i)=i-1
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) {
                phi[t] = phi[i] * primes[j]; // ② i%pj==0
                break;
            } else
                phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1); // ③i%pj>0
        }
    }
}

signed main() {
    int n;
    cin >> n;
    // 筛法求欧拉函数
    get_eulers(n);
    // 累加欧拉函数值
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
    printf("%lld\n", res);
}

六、欧拉定理

$n$ 和 $a$ 为正整数，且 $n$,$a$ 互素，即$gcd(n,a)=1$，则：

$$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod \ n)$$

讲解视频
证明挺麻烦的，有兴趣可以看一看，我就不证明了~

用途

这个定理可以用来 简化幂的模运算。

基本例子

比如计算$7^{222}$的个位数，实际是求$7^{222}$被$10$除的余数。$7$和$10$ 互素 ，且$φ(10)=4$。由欧拉定理知

$$7^4 \equiv 1(mod \ 10) \ (a=7,n=10)$$

所以$7^{222}=(7^4)^{55}*7^2 \equiv 1^{55}*7^2 \equiv 49 \equiv 9 (mod \ 10)$

所以，答案是$9$。

复杂例子

求$3333^{5555}$的 个位 是什么。

很明显不可能直接把$3333^{5555}$的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是$3333^{5555} %10$，问题就简单了:

• 我们知道 $3333^{5555} %10$= $3^{5555}\%10$

$\\$

• 因为要求的是末位，也就是$\%10$的结果，想要使用 欧拉定理:
  • $3$与$10$互质
  • $\phi(10)=4$,需要想办法构造$5555$里面有多少个$4$，可以直接把$4$的倍数直接约掉:
    
    根据 模运算规则 $(a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p$ ，由于$5555 = 4 * 1388 + 3$，我们得到
    
    $3^{5555}\%10=(3^{4*1388} * 3^3)\%10=(3^{4*1388}\%10* 3^3\%10)\%10=(3^{4*1388}\%10* 27\%10)\%10=(3^{4*1388}\%10* 7)\%10$
    
    欧拉定理 出场!
    
    对于$3^{4*1388}$而言， $3^{4*1388} = (3^4)^{1388}$
    
    $(3^4)$中$\phi(n) =\phi(10)= 4$,即 $n = 10$($1，3，7，9$满足);
    
    同时 满足 $3$和$10$互质，所以 $3^{4*1388}=(1\%10)^{1388} = 1$
    
    所以$(3^{4*1388}\%10* 7)\%10= (1 * 7) \% 10 = 7$
    
    计算完毕,答案是$7$。

七、一些性质

性质$1$

当 $gcd(n,m)=1$时， $$\large \phi(nm)=\phi(n) \times \phi(m)$$

从定义上来证明：

假设有两个互质的正整数$n,m$，则

$$\large \phi(n)=n \prod (1-\frac{1}{p_i})$$

$$\large \phi(m)=m \prod (1-\frac{1}{p_i'})$$

$$\large \phi(n)\times \phi(m)=n \prod (1-\frac{1}{p_i}) \times m \prod (1-\frac{1}{p_i'})=nm \prod(1-\frac{1}{p_i}) \prod(1-\frac{1}{p_i'})$$

因为$n,m$互质，所以$p_i$和$p_i′$各各都不相同，且都是$n,m$的质因子
因此就可以推出$φ(nm)=φ(n)φ(m)$

至此，积性函数的性质得证。但是由上面的证明可知，$n,m$必须要互质才可以满足欧拉函数是 积性函数，由此可见 欧拉函数不是完全积性函数

性质$2$

当 $n$ 为奇数时, $\phi(2*n)=\phi(n)$

证明
根据上面的性质$2$,当 $n$ 为奇数时， $n$ 与 $2$ 互质，

$$\large \phi(2*n)=\phi(2)\times \phi(n)$$

又因为 $$\large \phi(2)=1$$
所以 $\large \displaystyle \phi(2*n)=\phi(n)$

性质$3$

若 $n=p^k$ ， 则 $\large \phi(n)=p^k*\frac{p-1}{p}=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$

性质$4$

当$n>2$时，所有小于$n$且与$n$互质的数和$\large \displaystyle =\frac{n \times \phi(n)}{2}$,并且$\phi(n)$ 为偶数

证明
需要知道的一个基本事实是 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x) \ \ \ \ (n>x)$

注：关于这个，可以了解一下 更相减损术
也可以证明一下：
反证法，假设$n$与$x$互质，$n$与$n-x$不互质
设$n$和$n-x$的最大公约数为$m$，则$n=p*m，n-x=q*m$
所以$x=(p-q)*m$，推导出$x$和$n$有公约数$m$，与假设矛盾

因为 $gcd(n,x)=gcd(n,n-x)(n>x)$ ，所以与$n$互质的数都是 成对出现 的

每一对的和都为 $n$ 。所以他们的和为 $\phi(n) \times n \div 2$ 。

至于 $\phi(n)(n>2)$ 为偶数。因为与 $n$互质的数都是成对出现的，所以显然与 $n$互质的数为偶数，即 $\phi(n)$ 为偶数。

性质$5$

若 $p|n$ 且 $p^2|n$ ，则

$$\large \phi(n)=\phi(\frac{n}{p})* p$$

若$p \mid n$且$p^2 \nmid n$,则 $$\large \displaystyle \phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1)$$

证明
对于第一点
若 $p \mid n$ 且 $p^2 \mid n$ ，则证明 $n$ 和 $\frac{n}{p}$ 有相同的质因子，只是 $p$ 这一项的指数不同

那么我们可以将其按照欧拉函数的计算式展开，并相除，可得：

$$\large \frac{n\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_i})}{\frac{n}{p}\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_i})}=\frac{n}{\frac{n}{p}}=p$$

对于第二点
若 $p \mid n$ 且 $p^2 \nmid n$ ，则说明 $p$ 与 $\frac{n}{p}$ 互质（因为 $p$ 为素数）

那么根据欧拉函数为积性函数的这个性质即可证得

$$\large \phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*\phi(p)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1)$$

证毕。

注： 这个性质广泛用于递推求欧拉函数,也就是筛法求欧拉函数的基础。

性质$6$

设$\large n$为一个正整数 ,$\large \displaystyle n=\sum_{d \mid n}\phi(d)$

证明
列出

$$\large \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n}{n},$$

一共 $n$个分数，再将他们化简．

最简分数$\large \displaystyle \frac{a}{b}$在上面出现的话，当且仅当 $b|n$且$gcd(a,b)=1$。
那么以$b$为分母的分数共$ϕ(b)$个。

分母一共被划分为 $\large \displaystyle \sum_{d \mid n}1$份．

所以

$$\large \displaystyle n=\sum_{d \mid n}\phi(d)$$

七、习题

$HDU$ $3501$ $Calculation$ $2$

题意：给定整数$n$，求$[1,n]$中与$n$ 不互质 的数的和，最后$mod\ 1e9+7$

看一下上面的性质$4$证明,我们知道:设$t$为$[1,n]$中与$n$互质的数的和

$$\large t =\frac{n \times \phi(n)}{2}$$

我们利用欧拉函数和欧几里德定理，if gcd(n,i)==1，则有 gcd(n,n-i)==1 ，可以知道其中一个若为$i$,则存在一个为$n-i$, 那么二者之和为$n$  ，这样的一共有$\phi(n)/2$对, 故与$n$互质的所有数的和为 $n \times \phi(n)/2$ ,那么与$n$ 不互质的数就是

$$\large n \times (n-1)/2-n \times \phi(n)/2$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int MOD = 1e9 + 7;

// 求单个数值的欧拉函数值
int phi(int x) {
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) {
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

signed main() {
    int n;
    while (cin >> n && n) {
        // 小于n的数字中有多少个数字与n互质
        int ans = n * (n - 1) / 2;          // 高斯公式，(首页+末项)*项数/2
        ans = (ans - phi(n) * n / 2) % MOD; // 扣除掉 phi(n)*n/2
        cout << ans << endl;
    }
}

$BZOJ$ $3884$ 上帝与集合的正确用法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/43955611
// https://www.cnblogs.com/shuguangzw/p/5697183.html
// 指数循环节问题
// https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8236942
map<int, int> f;
int pow(int x, int k, int p) {
    int ret = 1;
    while (k) {
        if (k & 1)
            ret = (long long)ret * x % p;
        x = (long long)x * x % p;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int phi(int x) {
    int ret = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if (x % i == 0) {
            ret -= ret / i;
            while (x % i == 0)
                x /= i;
        }
    if (x > 1)
        ret -= ret / x;
    return ret;
}
int F(int x) {
    if (f.count(x))
        return f[x];
    int p = phi(x);
    return f[x] = pow(2, F(p) + p, x);
}
int main() {
    int t, n;
    scanf("%d", &t);
    f[1] = 0;
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", F(n));
    }
    return 0;
}