P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题

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一、穷举p和q

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//最大公约数
int gcd(int x, int y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
    return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}

int cnt;
int x, y;

int main() {
    //y的范围1e6,双重循环妥妥的TLE
    cin >> x >> y;
    //双重循环，傻查法，最基本，最朴素
    for (int i = x; i <= y; i++)
        for (int j = x; j <= y; j++)
            if (gcd(i, j) == x && lcm(i, j) == y) cnt++;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

此暴力算法，得分$60$,有$4$个点$TLE$。看来需要优化一下。

二、利用p计算q

因为性质4知道:$gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q$,所以已知最大公约和最小公倍，枚举$p$,就可以通过上面的等式计算获得到$q$,这比上面的枚举$p$和$q$的双重循环要减少一层循环，用信息学的行话就是时间复杂度由$O(N^2)$降为$O(N)$,历史级别的进步啊！！

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//最大公约数
int gcd(int x, int y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
    return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}

int cnt;
int x; //最大公约数
int y; //最小公倍数

int main() {
    //利用性质4：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
    //可以减少一维循环
    cin >> x >> y;
    for (int p = x; p <= y; p++) { //穷举进化法
        int q = x * y / p; //已知p,通过性质最大公约*最小公倍=两个数的乘积，
        // 可以计算出另一个数字，这样，就可以去掉一层循环，效率明显提升。
        // 应该满足如下的要求
        if (gcd(p, q) == x && lcm(p, q) == y) cnt++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

到此，此题就已经$AC$了，可以说出题人还是比较良心，_(≧▽≦)/ 但抓住一个好题，一定要一追到底，看看还能挖出哪些办法来。

三、穷举lcm(p,q)的约数

我们知道，$p$和$q$一定是最小公倍数的约数！（这不是废话吗？）如果我们能枚举$lcm(p,q)$的所有约数，就肯定能碰到$p,q$！
那怎么才能枚举$lcm(p,q)$的所有约数呢？我们这里采用的是从$1$遍历到$\sqrt{y}$的方法，试试$y%k==0$,如果是的话，表示$k$就是$y$的约数。这样做，就可以找到$y$中所有的小因子,对应的大因子除一下就是了。这两个其实是一对一对出现的，比如$3,60$与$60,3$就是两个。需要正着判断一次，反着再判断一次。同时小心类似于$\sqrt{25}=\sqrt{5*5}$这样的情况，去重一个。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

/**
 测试数据：
 3 60

 答案：4
 */
//最大公约数
LL gcd(LL x, LL y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
    return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}

int cnt;
LL x; //最大公约数
LL y; //最小公倍数

int main() {
    cin >> x >> y;
    //理论依据：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
    //枚举最小公倍数y的约数,这个约数可能是p,也可能是y/p
    for (LL k = 1; k * k <= y; k++)
        if (y % k == 0) {
            //可能小因子是p，也可能大因子是p,但大小因子别一样，那样会算重了。
            LL p = k;
            LL q = x * y / k; //q是靠计算出来的。q=x*y/p
            if (gcd(p, q) == x) cnt++;

            //p=y/k,q=x*y/(y/k)=k*x 两组不能重复，就是 y/k!=k
            if (k == y / k)continue;

            //p是大因子的可能性
            p = y / k;
            q = k * x;
            if (gcd(p, q) == x) cnt++;
        }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

这个计算效率就很牛了，时间复杂度：$O(\sqrt{y})$

四、穷举gcd(p,q)的倍数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

/**
 测试数据：
 3 60

 答案：4
 */
//最大公约数
LL gcd(LL x, LL y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x;
}

//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
    return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}

int cnt;
LL x; //最大公约数
LL y; //最小公倍数

int main() {
    cin >> x >> y;
    //理论依据：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
    //枚举最大公约数x的倍数
    for (LL p = x; p <= y; p += x) {
        LL q = x * y / p;
        if (gcd(p, q) == x && lcm(p, q) == y) cnt++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}