P1029 [NOIP2001 普及组] 最大公约数和最小公倍数问题
一、穷举p和q
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//最大公约数
int gcd(int x, int y) {
return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}
int cnt;
int x, y;
int main() {
//y的范围1e6,双重循环妥妥的TLE
cin >> x >> y;
//双重循环，傻查法，最基本，最朴素
for (int i = x; i <= y; i++)
for (int j = x; j <= y; j++)
if (gcd(i, j) == x && lcm(i, j) == y) cnt++;
cout << cnt << endl;
return 0;
}
此暴力算法，得分\(60\),有\(4\)个点\(TLE\)。看来需要优化一下。
二、利用p计算q
因为性质4知道:\(gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q\),所以已知最大公约和最小公倍，枚举\(p\),就可以通过上面的等式计算获得到\(q\),这比上面的枚举\(p\)和\(q\)的双重循环要减少一层循环，用信息学的行话就是时间复杂度由\(O(N^2)\)降为\(O(N)\),历史级别的进步啊！！
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//最大公约数
int gcd(int x, int y) {
return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}
int cnt;
int x; //最大公约数
int y; //最小公倍数
int main() {
//利用性质4：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
//可以减少一维循环
cin >> x >> y;
for (int p = x; p <= y; p++) { //穷举进化法
int q = x * y / p; //已知p,通过性质最大公约*最小公倍=两个数的乘积，
// 可以计算出另一个数字，这样，就可以去掉一层循环，效率明显提升。
// 应该满足如下的要求
if (gcd(p, q) == x && lcm(p, q) == y) cnt++;
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
到此，此题就已经\(AC\)了，可以说出题人还是比较良心，(≧▽≦)/ 但抓住一个好题，一定要一追到底，看看还能挖出哪些办法来。
三、穷举lcm(p,q)的约数
我们知道，\(p\)和\(q\)一定是最小公倍数的约数！（这不是废话吗？）如果我们能枚举\(lcm(p,q)\)的所有约数，就肯定能碰到\(p,q\)！
那怎么才能枚举\(lcm(p,q)\)的所有约数呢？我们这里采用的是从\(1\)遍历到\(\sqrt{y}\)的方法，试试\(y%k==0\),如果是的话，表示\(k\)就是\(y\)的约数。这样做，就可以找到\(y\)中所有的小因子,对应的大因子除一下就是了。这两个其实是一对一对出现的，比如\(3,60\)与\(60,3\)就是两个。需要正着判断一次，反着再判断一次。同时小心类似于\(\sqrt{25}=\sqrt{5*5}\)这样的情况，去重一个。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
/**
测试数据：
3 60
答案：4
*/
//最大公约数
LL gcd(LL x, LL y) {
return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}
int cnt;
LL x; //最大公约数
LL y; //最小公倍数
int main() {
cin >> x >> y;
//理论依据：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
//枚举最小公倍数y的约数,这个约数可能是p,也可能是y/p
for (LL k = 1; k * k <= y; k++)
if (y % k == 0) {
//可能小因子是p，也可能大因子是p,但大小因子别一样，那样会算重了。
LL p = k;
LL q = x * y / k; //q是靠计算出来的。q=x*y/p
if (gcd(p, q) == x) cnt++;
//p=y/k,q=x*y/(y/k)=k*x 两组不能重复，就是 y/k!=k
if (k == y / k)continue;
//p是大因子的可能性
p = y / k;
q = k * x;
if (gcd(p, q) == x) cnt++;
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
这个计算效率就很牛了，时间复杂度：\(O(\sqrt{y})\)
四、穷举gcd(p,q)的倍数
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
/**
测试数据：
3 60
答案：4
*/
//最大公约数
LL gcd(LL x, LL y) {
return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
//最小公倍数
int lcm(int x, int y) {
return y / gcd(x, y) * x; //注意顺序，防止乘法爆int
}
int cnt;
LL x; //最大公约数
LL y; //最小公倍数
int main() {
cin >> x >> y;
//理论依据：gcd(p,q)*lcm(p,q)=p*q
//枚举最大公约数x的倍数
for (LL p = x; p <= y; p += x) {
LL q = x * y / p;
if (gcd(p, q) == x && lcm(p, q) == y) cnt++;
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
