L20_8 求解组合数

一、原始方法

优点：从定义出发，易理解
缺点：使用阶乘，过早溢出，比如C(17,54)得到了负数，因为溢出了。

依赖公式：
$C_n^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!}$ ①
$C_n^m=C_n^{n-m}$ ②

LL C1(int n, int m) {
    if (m < n - m) m = n - m; //此处加了一个小优化，使用了公式2
    LL ans = 1;
    for (int i = m + 1; i <= n; i++) ans *= i;
    for (int i = 1; i <= n - m; i++) ans /= i;
    return ans;
}

二、优化后求单个组合数方法

这个是咋优化的呢？利用$n!$和$(n-m)!$有重叠部分，先直接约分去掉，然后只计算不重叠的部分，就是$(n-m+1) \times (n-m+2) \times (n-m+3) \times ... \times n /m!$

因为反正都需要做循环计算$(n-m+i)$ 乘积，就可以在一个循环里一边乘来一边除（这里涉及到一个为什么除法不会产生小数的证明问题，我也不知道，知道结论，这是对的。），就是如下的代码了：

//求组合数的优化后办法
//优点：从1开始除和乘，可以防止过早溢出和除法除不尽
LL C2(int n, int m) {
    LL sum = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        sum = sum * (n - m + i) / i;
    return sum;
}

3、采用递推式

依赖公式：$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//功能：计算组合数公式
typedef long long LL;
const int N = 30;
LL C[N][N];

//组合数公式
void getC() {
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        //base case
        C[i][0] = C[i][i] = 1; //组合数C(n,0)=1,组合数C(n,n)=c(n,0)=1
        //递推生成其它组合数
        for (int j = 1; j < i; j++)
            //这个记忆的过程想一想杨辉三角就明白了,头顶+左上
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
    }
}

int n, m;

/**
 * 测试用例：
 * 4 2
 *
 * 答案：
 * 6
 */
int main() {
    cin >> n >> m;
    getC();
    /**
     * 输出杨辉三角
     */
    for (int i = 0; i <= 20; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            cout << C[i][j] << ' ';
        cout << endl;
    }
    cout << C[n][m] << endl;
    return 0;
}