P19-9 逻辑例题
一、什么是德.摩根定律
德摩根定律有多种形式,在集合中的形式如下:
我们可以用生活中的例子也来理解该定理,假设某学校举办运动会,\(A\) 代表“去跑步”的同学,\(B\) 代表“去跳远”的同学,\(A\cup B\) 表示“去跑步或跳远”的同学,所以有:
而\(A \cap B\) 表示“既跑步又跳远”,所以有:
二、怎么记忆摩根定律
理解归理解,德摩根定律看上去还是有点复杂,可以通过下面方法来记忆,就是头顶上的帽子断开时,中间的符号要翻转:
![](https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202108/8562-20210817150447258-209908927.gif)
德摩根定律拓展到多个事件上也是成立的,记忆方法也是一样的:
三、小试牛刀
化简下面的逻辑表达式:
1、 \((A+B)(A+C)\)
\(=AA+AC+AB+BC\) 分配律
\(=A+AC+AB+BC\) \(AA=A\)
\(=A(1+C+B)+BC\) 反向使用分配律
\(=A+BC\) \(A+1=1\)
结论:\((A+B)(A+C)=A+BC\)
2、\(AB+\overline AC+BC\)
\(=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)\) 依据:\(A+ \overline A =1\)
\(=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC\) 分配律
\(=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC\) 结合律
\(=AB(1+C) + \overline AC(1+B)\) 反向分配律
\(=AB+ \overline AC\) \(A+1=1\)
结论:\(AB+\overline AC+BC = AB+ \overline AC\)
3、\(\overline {A \overline B +\overline {AC}}\)
\(=(\overline A + B)(A+C)\) 摩根定律
\(=\overline AA+ \overline A C+ AB+BC\) 分配律
\(=AB+ \overline AC+BC\) \(A \overline A=0\)
\(=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)\) 依据:\(A+ \overline A =1\)
\(=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC\) 分配律
\(=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC\) 结合律
\(=AB(1+C) + \overline AC(1+B)\) 反向分配律
\(=AB+ \overline AC\) \(A+1=1\)
结论:\(\overline {A \overline B +\overline {AC}} = AB+ \overline AC\)
4、\(!((x<=0 || x>5) \&\& (y<=0 || y>10)\)
设\(X= (x<=0)\),\(Y=(x>5)\),\(A=(y=0)\),\(B=(y>10)\)
原式=\(\overline{(X+Y)(A+B)}\)
\(=\overline{X+Y}+ \overline {A+B}\) 摩根定律
\(=\overline X \cdot \overline Y + \overline A \cdot \overline B\) 摩根定律
也就是\(x>0 \&\& x<=5 || y>0 \& \& y<=10\)