P19-9 逻辑例题

一、什么是德.摩根定律

德摩根定律有多种形式，在集合中的形式如下：

我们可以用生活中的例子也来理解该定理，假设某学校举办运动会，\(A\) 代表“去跑步”的同学，\(B\) 代表“去跳远”的同学，\(A\cup B\) 表示“去跑步或跳远”的同学，所以有：

而\(A \cap B\) 表示“既跑步又跳远”，所以有：

二、怎么记忆摩根定律

理解归理解，德摩根定律看上去还是有点复杂，可以通过下面方法来记忆，就是头顶上的帽子断开时，中间的符号要翻转：

德摩根定律拓展到多个事件上也是成立的，记忆方法也是一样的：

三、小试牛刀

化简下面的逻辑表达式：
1、 \((A+B)(A+C)\)
\(=AA+AC+AB+BC\) 分配律
\(=A+AC+AB+BC\) \(AA=A\)
\(=A(1+C+B)+BC\) 反向使用分配律
\(=A+BC\) \(A+1=1\)
结论：\((A+B)(A+C)=A+BC\)

2、\(AB+\overline AC+BC\)
\(=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)\) 依据：\(A+ \overline A =1\)
\(=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC\) 分配律
\(=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC\) 结合律
\(=AB(1+C) + \overline AC(1+B)\) 反向分配律
\(=AB+ \overline AC\) \(A+1=1\)
结论：\(AB+\overline AC+BC = AB+ \overline AC\)

3、\(\overline {A \overline B +\overline {AC}}\)
\(=(\overline A + B)(A+C)\) 摩根定律
\(=\overline AA+ \overline A C+ AB+BC\) 分配律
\(=AB+ \overline AC+BC\) \(A \overline A=0\)
\(=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)\) 依据：\(A+ \overline A =1\)
\(=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC\) 分配律
\(=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC\) 结合律
\(=AB(1+C) + \overline AC(1+B)\) 反向分配律
\(=AB+ \overline AC\) \(A+1=1\)
结论：\(\overline {A \overline B +\overline {AC}} = AB+ \overline AC\)

4、\(!((x<=0 || x>5) \&\& (y<=0 || y>10)\)
设\(X= (x<=0)\),\(Y=(x>5)\),\(A=(y=0)\),\(B=(y>10)\)
原式=\(\overline{(X+Y)(A+B)}\)
\(=\overline{X+Y}+ \overline {A+B}\) 摩根定律
\(=\overline X \cdot \overline Y + \overline A \cdot \overline B\) 摩根定律
也就是\(x>0 \&\& x<=5 || y>0 \& \& y<=10\)