P19-9 逻辑例题

一、什么是德.摩根定律

德摩根定律有多种形式，在集合中的形式如下：

我们可以用生活中的例子也来理解该定理，假设某学校举办运动会，$A$ 代表“去跑步”的同学，$B$ 代表“去跳远”的同学，$A\cup B$ 表示“去跑步或跳远”的同学，所以有：

而$A \cap B$ 表示“既跑步又跳远”，所以有：

二、怎么记忆摩根定律

理解归理解，德摩根定律看上去还是有点复杂，可以通过下面方法来记忆，就是头顶上的帽子断开时，中间的符号要翻转：

德摩根定律拓展到多个事件上也是成立的，记忆方法也是一样的：

三、小试牛刀

化简下面的逻辑表达式：
1、 $(A+B)(A+C)$
$=AA+AC+AB+BC$ 分配律
$=A+AC+AB+BC$ $AA=A$
$=A(1+C+B)+BC$ 反向使用分配律
$=A+BC$ $A+1=1$
结论：$(A+B)(A+C)=A+BC$

2、$AB+\overline AC+BC$
$=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)$ 依据：$A+ \overline A =1$
$=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC$ 分配律
$=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC$ 结合律
$=AB(1+C) + \overline AC(1+B)$ 反向分配律
$=AB+ \overline AC$ $A+1=1$
结论：$AB+\overline AC+BC = AB+ \overline AC$

3、$\overline {A \overline B +\overline {AC}}$
$=(\overline A + B)(A+C)$ 摩根定律
$=\overline AA+ \overline A C+ AB+BC$ 分配律
$=AB+ \overline AC+BC$ $A \overline A=0$
$=AB+ \overline AC+BC(A+ \overline A)$ 依据：$A+ \overline A =1$
$=AB+ \overline AC+ ABC+\overline ABC$ 分配律
$=AB+ABC+\overline AC+\overline ABC$ 结合律
$=AB(1+C) + \overline AC(1+B)$ 反向分配律
$=AB+ \overline AC$ $A+1=1$
结论：$\overline {A \overline B +\overline {AC}} = AB+ \overline AC$

4、$!((x<=0 || x>5) \&\& (y<=0 || y>10)$
设$X= (x<=0)$,$Y=(x>5)$,$A=(y=0)$,$B=(y>10)$
原式=$\overline{(X+Y)(A+B)}$
$=\overline{X+Y}+ \overline {A+B}$ 摩根定律
$=\overline X \cdot \overline Y + \overline A \cdot \overline B$ 摩根定律
也就是$x>0 \&\& x<=5 || y>0 \& \& y<=10$