哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
一、历史背景
欧拉证明了这种走法是 不可能的。
首先能想到的证明方法是把走七座桥的走法都列出来，一个一个的试验，但七座桥的所有走法共用\(7！=5040种\)，逐一试验将是很大的工作量。欧拉作为数学家，当然没那样想。欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象成连接顶点的一条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下面的图：
假设每座桥都恰好走过一次，那么对于\(A、B、C、D\)四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开。进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是 偶数 。
而上图中\(A、C、D\)四个顶点的相连边都是\(3\)，顶点\(B\)的相连边为\(5\)，都为 奇数。因此，这个图无法从一个顶点出发，遍历每条边各一次。
二、相关的概念和定理
欧拉图、欧拉路径/回路
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如果在一张图（有向图或无向图）上能够不重复地遍历完所有的边，那么此图就称为欧拉图
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能够不重复地遍历完所有的边的路径——即一笔画的“笔画”，称为欧拉路径
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特别地，如果上述路径的起点与终点相同，则称为欧拉回路
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如下\(gif\)所示的图就是欧拉图，存在一个欧拉路径。
下图是一笔画成的 串 字，也就是说烧烤店门口挂的这个字可以用单条\(LED\)灯带做成。
那么柯尼斯堡七桥问题为什么不能 一笔画 呢？来看看欧拉提出的定理:
欧拉定理
欧拉同时考虑到了有向图与无向图的情况，因此要分别讨论。
无向图的情况
定理：
连通无向图\(G\)有欧拉路径的充要条件为：\(G\)中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有\(0\)个或者\(2\)个。
证明：
略
可知，柯尼斯堡七桥问题中的图有\(4个\)奇度顶点（\(1\)个度数为\(5\)，\(3\)个度数为\(3\)），所以不存在欧拉路径。
有向图的情况
定理：
底图连通的有向图\(G\)有欧拉路径的充要条件为：
1、\(G\)的所有顶点入度和出度都相等；
2、或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为\(1\)，另一个顶点的入度与出度之差为\(1\)。
证明:略
欧拉定理介绍完了，那么如何找到具体的路径呢？
寻找欧拉路径/回路
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判断图的连通性,非连通图是不存在欧拉路径/回路的。
判断图的连通性可以通过传统的\(DFS\)和\(BFS\)方法，也可以通过之前讲过的并查集实现，另外还有基于传递闭包的\(Floyd\)-\(Warshall\)算法（没错就是求最短路的那个），不再赘述。
-
判断是否欧拉路径/回路
如果图是连通的，我们再遍历每个顶点的度（有向图就是入度和出度），根据欧拉定理即可轻松地判断图中是否欧拉路径/回路。 -
找出路径的起点和终点
如果是欧拉路径的话，还能顺便找出路径的起点和终点。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 26;
int ind[N]; //入度
/**
测试数据：
欧拉图
4 4
1 2
2 3
3 4
4 1
非欧拉图
4 4
1 2
2 3
3 4
1 4
*/
struct Edge { //记录边的终点，边权的结构体
int to; //终点
int value; //边权
};
int n, m; //表示图中有n个点，m条边
vector<Edge> p[N]; //使用vector的邻接表
int cnt, start;
int main() {
//利用邻接表建图
cin >> n >> m;
//m条边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v; //点u到点v有一条权值为l的边
cin >> u >> v;
p[u].push_back({v, 1});
//维护入度
ind[v]++;
}
//判断是不是欧拉图
//出度与入度的数字关系
for (int i = 1; i <= n; i++) {
//计算每个结点的出度与入度的差
int k = p[i].size() - ind[i]; //出度不需要单独维护
//出度与入度差大于1，则肯定不是欧拉图
if (abs(k) > 1) {
cout << "No";
return 0;
}
//如果差是1，那么需要检查是不是2个,2个才是一个入口点，一个出口点
if (abs(k) == 1) {
//记录个数
cnt++;
//如果出度比入度大1，记录下起点是哪个结点
if (k == 1) start = i;
}
}
//如果不是0也不是2，那么不是欧拉图
if (cnt != 0 && cnt != 2) {
cout << "No";
return 0;
}
//欧拉图
cout << "Yes" << endl;
if (start) cout << "出发点：" << start << endl;
else cout << "任意点都可以是出发点！" << endl;
return 0;
}
