P5019 铺设道路题解

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一、贪心法

题目里给的样例是$4，3，2，5，3，5$,可以选择一个区间进行“填坑”操作；我们的贪心策略是：
若$a[i]>a[i-1]$,计数器$sum+=a[i]-a[i-1]$;

贪心证明

假设现在有一个坑，但旁边又有一个坑。你肯定会选择把两个同时填充，都减$1$；那么小的坑肯定会被大的坑“带着”填掉。大的坑也会减少$a[i]-a[i-1]$的深度，可以说是“免费的”；所以这样贪心是对的。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010;
int a[N];

LL ans;
int n;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (a[i] > a[i - 1]) ans += a[i] - a[i - 1];
    cout << ans;
    return 0;
}

2、递推法

用$f[i]$表示前$i$个坑所铺设的最少次数。
那么要做的只需比较一下当前的$a[i]$就是坑的深度）和$a[i-1]$，分两种情况：

1、如果$a[i]<=a[i-1]$，那么在填$a[i-1]$时就可以顺便把$a[i]$填上，这样显然更优，所以$f[i]=f[i-1]$;

2、如果$a[i]>a[i-1]$，那么在填$a[i-1]$时肯定要尽量把$a[i]$一块填上一部分($a[i-1]$)，$a[i]$剩余的就单独填。

所以，$f[i]=f[i-1]+(a[i]-a[i-1])$。
初始化$f[1]=a[1]$，向后推就行了,复杂度大概是$O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1000010;
//递推法
int n, a[N];
int f[N];   //代表前i个区域被填充好的最少次数.套路，满满的套路

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    //递推出口，第一个有多大的坑，不能指望别人，都要靠自己来完成~
    f[1] = a[1];
    //从第2个开始进行递推
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        //递推式：见题解的分析过程
        if (a[i] <= a[i - 1]) f[i] = f[i - 1];
        else f[i] = f[i - 1] + (a[i] - a[i - 1]);
    }
    //输出大吉
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}