P1228 地毯填补问题题解
非常经典的棋盘覆盖问题，一定要和有学识的老师学习，事半功倍啊：分治法之棋盘覆盖——东北大学
四种地毯的形状：
首先考虑\(2\times 2\)的情况。假设这个特殊点在\((2,2)\)，那么很明显正确的填法是这样的：
那么接下来就要扩大到\(4 \times 4\)了：
这时候，另外三个\(2\times 2\)的未上色格子就没有特殊点了，也就没法像一开始的\(2\times 2\)的格子做。那么可不可以给每个\(2\times 2\)的格子都增加一个特殊点呢？
答案很明显是可以的。只要在四个\(2\times 2\)的格子的正中间旁边的\(3\)个白色格子都填上同一种颜色，然后再分别处理三个\(2\times 2\)的格子就可以！
那么再分别处理三个\(2\times 2\)格子，得到
那么同理，当我们扩充到\(8\times 8\)的格子时候，也用同样的方法，现将中间点旁边的白点标记为特殊点。
然后同理。。。
那么就可以推出\(2^{10}\)大小的答案啦！
那么，如果要我们求\(2^{10}\)大小的答案，那么就首先找到它的中点，判断特殊点在那边，然后就往那边递归，就变成\(2^9\times 2^9\) 了，之后一直递归下去直到变成\(2\times 2\)，然后就像上面说的一样慢慢染色输出啦！
c++代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//功能: 通过不断的判断公主的位置，完成对棋盘进行L形的填充,要求填充完整，不能有遗漏，不能冒出去棋盘。
//参数：棋盘左上，棋盘右下，公主位置
void dfs(int x1, int y1, int x2, int y2, int gz_x, int gz_y) {
//变成了2*2(递归出口)
if (x2 - x1 == 1 && y2 - y1 == 1) {
//具体用哪号地毯，可以参考题解上方的地毯图形说明
if (gz_x == x1 && gz_y == y1) printf("%d %d 1\n", x2, y2); //公主在左上,1号地毯
if (gz_x == x1 && gz_y == y2) printf("%d %d 2\n", x2, y1); //公主在右上,2号地毯
if (gz_x == x2 && gz_y == y1) printf("%d %d 3\n", x1, y2); //公主在左下,3号地毯
if (gz_x == x2 && gz_y == y2) printf("%d %d 4\n", x1, y1); //公主在右下,4号地毯
return;//最后一块铺完，Game Over~ 递归出口
}
//取出中心点,举个栗子：5~8，则(8-5)/2+5=6,就是5~8之间的中心点是6，靠近小的那边
int mid_x = (x2 - x1) / 2 + x1;
int mid_y = (y2 - y1) / 2 + y1;
//接下来就是分治特殊点的位置，往那个方向搜索。
if (gz_x <= mid_x && gz_y <= mid_y) { //公主在左上
dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, gz_x, gz_y); //递归左上角
printf("%d %d 1\n", mid_x + 1, mid_y + 1); //放上去一个1号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y); //左下角(虚拟公主在左下角的右上角)
dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1);//右下角(虚拟公主在右下角的左上角)
dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1); //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
}
if (gz_x <= mid_x && gz_y > mid_y) { //右上
dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, gz_x, gz_y); //递归右上角
printf("%d %d 2\n", mid_x + 1, mid_y); //放上去一个2号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y); //左上角 (虚拟公主在左上角的右下角)
dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y); //左下角 (虚拟公主在左下角的右上角)
dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1); //右下角 (虚拟公主在右下角的左上角)
}
if (gz_x > mid_x && gz_y <= mid_y) { //左下
dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, gz_x, gz_y); //递归左下角
printf("%d %d 3\n", mid_x, mid_y + 1); //放上去一个3号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1); //右下角(虚拟公主在右下角的左上角)
dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y); //左上角(虚拟公主在左上角的右下角)
dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1); //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
}
if (gz_x > mid_x && gz_y > mid_y) { //右下
dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, gz_x, gz_y);//递归右下角
printf("%d %d 4\n", mid_x, mid_y); //放上去一个4号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y); //左上角(虚拟公主在左上角的右下角)
dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1); //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y); //左下角(虚拟公主在左下角的右上角)
}
}
int main() {
int x, y; //公主的位置
int k; //2^k是棋盘的大小
cin >> k >> x >> y;
//递归
int n = 1 << k; //计算n=2^k,用位运算更快
//开始铺地毯的坐标x1,y1;结束铺地毯的坐标x2,y2; 最后两个参数是公主的位置
dfs(1, 1, n, n, x, y);
return 0;
}
