P1228 地毯填补问题题解

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非常经典的棋盘覆盖问题，一定要和有学识的老师学习，事半功倍啊：分治法之棋盘覆盖——东北大学

四种地毯的形状：

首先考虑$2\times 2$的情况。假设这个特殊点在$(2,2)$，那么很明显正确的填法是这样的：

那么接下来就要扩大到$4 \times 4$了：

这时候，另外三个$2\times 2$的未上色格子就没有特殊点了，也就没法像一开始的$2\times 2$的格子做。那么可不可以给每个$2\times 2$的格子都增加一个特殊点呢？

答案很明显是可以的。只要在四个$2\times 2$的格子的正中间旁边的$3$个白色格子都填上同一种颜色，然后再分别处理三个$2\times 2$的格子就可以！

那么再分别处理三个$2\times 2$格子，得到

那么同理，当我们扩充到$8\times 8$的格子时候，也用同样的方法，现将中间点旁边的白点标记为特殊点。

然后同理。。。

那么就可以推出$2^{10}$大小的答案啦！

那么，如果要我们求$2^{10}$大小的答案，那么就首先找到它的中点，判断特殊点在那边，然后就往那边递归，就变成$2^9\times 2^9$ 了，之后一直递归下去直到变成$2\times 2$，然后就像上面说的一样慢慢染色输出啦！

c++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//功能: 通过不断的判断公主的位置，完成对棋盘进行L形的填充,要求填充完整，不能有遗漏，不能冒出去棋盘。
//参数：棋盘左上，棋盘右下，公主位置
void dfs(int x1, int y1, int x2, int y2, int gz_x, int gz_y) {
    //变成了2*2(递归出口)
    if (x2 - x1 == 1 && y2 - y1 == 1) {
        //具体用哪号地毯，可以参考题解上方的地毯图形说明
        if (gz_x == x1 && gz_y == y1) printf("%d %d 1\n", x2, y2); //公主在左上,1号地毯
        if (gz_x == x1 && gz_y == y2) printf("%d %d 2\n", x2, y1); //公主在右上,2号地毯
        if (gz_x == x2 && gz_y == y1) printf("%d %d 3\n", x1, y2); //公主在左下,3号地毯
        if (gz_x == x2 && gz_y == y2) printf("%d %d 4\n", x1, y1); //公主在右下,4号地毯
        return;//最后一块铺完，Game Over~ 递归出口
    }

    //取出中心点,举个栗子：5~8，则(8-5)/2+5=6,就是5~8之间的中心点是6，靠近小的那边
    int mid_x = (x2 - x1) / 2 + x1;
    int mid_y = (y2 - y1) / 2 + y1;

    //接下来就是分治特殊点的位置，往那个方向搜索。
    if (gz_x <= mid_x && gz_y <= mid_y) {                               //公主在左上
        dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, gz_x, gz_y);                          //递归左上角

        printf("%d %d 1\n", mid_x + 1, mid_y + 1);               //放上去一个1号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
        dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y);                //左下角(虚拟公主在左下角的右上角)
        dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1);//右下角(虚拟公主在右下角的左上角)
        dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1);                //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
    }
    if (gz_x <= mid_x && gz_y > mid_y) { //右上
        dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, gz_x, gz_y);                    //递归右上角
        printf("%d %d 2\n", mid_x + 1, mid_y);                     //放上去一个2号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
        dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y);                                 //左上角 (虚拟公主在左上角的右下角)
        dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y);                 //左下角 (虚拟公主在左下角的右上角)
        dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1); //右下角 (虚拟公主在右下角的左上角)
    }
    if (gz_x > mid_x && gz_y <= mid_y) { //左下
        dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, gz_x, gz_y);                      //递归左下角
        printf("%d %d 3\n", mid_x, mid_y + 1);                       //放上去一个3号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
        dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, mid_x + 1, mid_y + 1);    //右下角(虚拟公主在右下角的左上角)
        dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y);                                    //左上角(虚拟公主在左上角的右下角)
        dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1);                    //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
    }
    if (gz_x > mid_x && gz_y > mid_y) { //右下
        dfs(mid_x + 1, mid_y + 1, x2, y2, gz_x, gz_y);//递归右下角
        printf("%d %d 4\n", mid_x, mid_y);                      //放上去一个4号地毯，相当于构建了三个虚拟的公主
        dfs(x1, y1, mid_x, mid_y, mid_x, mid_y);                               //左上角(虚拟公主在左上角的右下角)
        dfs(x1, mid_y + 1, mid_x, y2, mid_x, mid_y + 1);               //右上角(虚拟公主在右上角的左下角)
        dfs(mid_x + 1, y1, x2, mid_y, mid_x + 1, mid_y);               //左下角(虚拟公主在左下角的右上角)
    }
}

int main() {
    int x, y; //公主的位置
    int k;    //2^k是棋盘的大小
    cin >> k >> x >> y;
    //递归
    int n = 1 << k; //计算n=2^k,用位运算更快
    //开始铺地毯的坐标x1,y1;结束铺地毯的坐标x2,y2; 最后两个参数是公主的位置
    dfs(1, 1, n, n, x, y);
    return 0;
}