P3612 秘密奶牛码题解

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思路：

递归

题意：给定一个序列$s$，用它能够生成一个无限长的序列
第一个序列：$s_1=s$
第二个序列：$s_2=s_1+s_1′$
第三个序列：$s_3=s_2+s_2′$
...
其中$s_i′$表示将$s_i$中的最后一个元素放到最前面形成的新序列。

把一个序列看成前半部分和后半部分，看位置$x$在前半部分还是后半部分:
在前半部分 => 子问题：前半部分的$x$位置
在后半部分 => 子问题：通过$x- mid$位置想办法找到对应的前半部分的位置 。

$x - mid == 1 ? mid : x - mid - 1$

举个栗子秒懂：
$COW -> COW\ \ WCO -> COWWCO\ \ O$$C$$OWWC->....$
$x=8$，就是想知道上面第$8$个位置，就是红色位置的字符是什么，上面的用例就是$C$。

在任何一个普通的情况下，我们都试图找出当前位置与前一个字符串的位置对应关系，如果关系确定了，那么问题就可通过递归一层层返回到原始串了，也就解决了问题。

那么如何确定与前一个字符串的字符位置对应关系呢？
比如上面的栗子：
$x=7$,目标值是$O$,它其实是上一个字符串的最后一个字符转过来的。就是$prex=6$

$x=8$,目标值是$C$,它其实是上一个字符串的第一个字符转过来的。就是$prex=1$

$x=9$,目标值是$O$,它其实是上一个字符串的第二个字符转过来的。就是$prex=2$

$x=10$,目标值是$W$,它其实是上一个字符串的第三个字符转过来的。就是$prex=3$

...

结论：除了交接位置的那个是它的前一个以外，其余的都是$x-$一半的字符串长度$-1$,写成数学表达式就是：

$x - mid == 1 ? mid : x - mid - 1$

C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

//原始字符串
string s;

//预求的位置值
LL x;

//在n个长度的字符串中，查找位置x的字符
char dfs(LL n, LL x) {
    //如果回到原始串，那么直接返回指定位置的字符
    if (n == s.size()) return s[x - 1];//之所以x-1，是因为字符串下标是从0开始的

    //字符串的中间点
    LL mid = n >> 1;

    //如果在后半部分(转化为前半部分的位置)
    if (x > mid)
        return dfs(mid, (x == mid + 1 ? mid : x - mid - 1));
        //如果在前半部分
    else
        return dfs(mid, x);
}

int main() {
    cin >> s >> x;
    //原始长度
    LL n = s.size();

    //不断乘2，翻倍，找出能够容纳x这个数字的最短长度
    while (n < x) n <<= 1;

    //递归
    cout << dfs(n, x);
}