P1164 小A点菜题解

题目传递门

一、递推思路：

以中间某个通过状态为样本进行分析，比如我们现在面对第$i$种菜，设$f[i]$是前$i$种菜的所有点菜方法，但仔细一想，这样不行，为什么呢？因为只考虑了菜，没考虑钱！不考虑钱的点菜是没有灵魂的~

所以前$i$种菜的点菜方法，是受钱数制约的，就是，还有另一个钱数的维度。所以，我们设$f[i][j]$给在前$i$种菜，在钱数上限$j$之内的点菜方法数。

注意：
本题是二维的，与前一题P2437 蜜蜂路线不一样，那个简单，是一维的。

$f[i][j]$是由哪些状态转移而来呢？我们可以想像，我们面对第$i$个菜，有三种情况：
一、剩余的钱数正好等于$i$号菜价格
1、选择购买,买完了就没有钱了，就到头了。加$1$就完事了,游戏到此结束啊！！也可以理解为$base\ case$,就是基础依赖项，开头项。
$f[i][j]=f[i-1][j]+1$

2、不选择就是原来的。$f[i][j]=f[i-1][j]$

二、剩余的钱数大于购买$i$号菜价格
1、选择购买
$f[i][j]=f[i-1][j-a[i]]$

2、不选择就是原来的。$f[i][j]=f[i-1][j]$

三、剩余的钱数小于购买第$i$号菜价格
1、没的选，只能是$f[i][j]=f[i-1][j]$

C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int a[N], f[N][M];
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            //正好相等，方案数+1
            if (j == a[i])f[i][j] = f[i - 1][j] + 1;
            //如果大于，不选，就是原来的方案数；选了，那么就依赖于j-a[i]这些钱在i-1个物品中的方案数
            if (j > a[i]) f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - a[i]];
            //如果小于，没的选择
            if (j < a[i]) f[i][j] = f[i - 1][j];
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

二、递归思路

有时，递归与深度优先我喜欢混淆概念，因为从本质上讲，深度优先就是递归嘛。

深搜的话，就是一样一个思路：
1、我一个都没点菜，兜里有钱$m$元。
2、我看了一眼第一个菜，存在三种可能：
（1）等于$m$元
如果点了，则钱花光，方法数+1；
如果不点，继续下一个菜。

（2）大于$m$元
如果点了，则钱减少；继续点下一个菜。
如果不点，则继续点下一个菜。

（3）小于$m$元
不够买，只能放弃。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
int a[N];
int n, m;
//纯递归思路，最后一个测试点TLE

//x:第几个位置
//m:钱数上限
int dfs(int x, int m) {
    int ans = 0;
    if (m == 0) return 1;//钱花光，增加一种办法
    if (x == n) return 0;//选择完n种，钱还没有花光，无效方法
    //看下一个菜，如果钱还够
    if (a[x + 1] <= m)
        ans += dfs(x + 1, m - a[x + 1]); //选择当前位置的菜
    ans += dfs(x + 1, m);  //不选择当前位置的菜
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
    cout << dfs(0, m) << endl;
    return 0;
}

因为递归会存在大量重复计算，所以可以采用记忆化的方法记录到二维数组中，减少计算次数：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
int a[N];
int n, m;
int dp[N][10010];

//x:第几个位置
//m:钱数上限
int dfs(int x, int m) {
    if (dp[x][m]) return dp[x][m];
    int ans = 0;
    if (m == 0) return 1;
    if (x == n) return 0;
    if (a[x + 1] <= m) ans += dfs(x + 1, m - a[x + 1]); //选择当前位置的菜
    ans += dfs(x + 1, m);  //不选择当前位置的菜
    dp[x][m] = ans;
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n >> m;  
    for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
    cout << dfs(0, m) << endl;
    return 0;
}