P1044 栈题解

题目传递门

一、深搜

别的也不会，一个深搜走天下！深搜我们主要关心的是下一步噢~

怎么个深搜法呢？我们模拟一下，有一个装个顺序号小球的队列，一个个准备放到一个栈里。一共几下面几种场景:
1、队列为空，栈为空。
这种场景的下一步就只能是“游戏终止”，而“游戏终止”时我们应该方案数+1。

2、队列为空，栈不空。
这种场景下下一步只能是栈弹出一个，一直到弹空了为止，也就是，方案数+1。

3、队列不空，栈为空。
这种场景下下一步只能是队列出来一个，栈进去一个，场景变为“队列-1，栈+1”。

4、队列不空，栈不空。
这种场景下下一步有点麻烦，可以是队列-1，栈+1；也可以是队列不动，栈-1。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

int n;
// i 表示队列里还有几个待排的数，
// j 表示栈里有 j 个数，dfs(i,j)表示此时的情况数
// 不重不漏的描述了所有情况

LL dfs(int i, int j) {
    LL ans = 0;
    //(1)队列空，栈空
    if (i == 0 && j == 0)ans += 1; //这是递归出口，增加一种方法
    //(2)队列空,栈不空
    if (i == 0 && j > 0) ans += 1; //只能一个个蹦出去啦~
    //(3)队列不空,栈空
    if (i > 0 && j == 0) ans += dfs(i - 1, j + 1); //从队列中取一个，放入到栈中
    //(4)队列不空,栈不空
    if (i > 0 && j > 0) ans += dfs(i, j - 1) + dfs(i - 1, j + 1);
//有两种选择，一是队列不动，栈中出去一个；另一种是队列取一个，放入栈中
    return ans;
}

int main() {
    cin >> n;
    printf("%lld", dfs(n, 0));
    return 0;
}

结果5个测试点，过了4个，最后一个TLE了~

2、记忆化搜索

我们观察到，上面的代码之所以超时，根源是因为这个和前面“过河卒”一样，存在大量重复计算，到达某个点后，这个点再出发都是重复的。可以考虑使用反向思维用递推！当然，本题也可以使用记化搜索来解决：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 20;
typedef long long LL;

int n;
// 定义一个二维数组f[i,j]f[i,j]，用下标 i 表示队列里还有几个待排的数，
// j 表示栈里有 j 个数，f[i,j]表示此时的情况数
// 不重不漏的描述了所有情况
LL f[N][N]; //记忆化搜索

LL dfs(int i, int j) {
    //算过
    if (f[i][j]) return f[i][j];
    //(1)队列空，栈空
    if (i == 0 && j == 0) f[i][j] += 1; //这是递归出口，增加一种方法
    //(2)队列空,栈不空
    if (i == 0 && j > 0) f[i][j] += 1;//只能一个个蹦出去啦~
    //(3)队列不空,栈空
    if (i > 0 && j == 0) f[i][j] += dfs(i - 1, j + 1);//从队列中取一个，放入到栈中
    //(4)队列不空,栈不空
    if (i > 0 && j > 0) f[i][j] += dfs(i, j - 1) + dfs(i - 1, j + 1);
//有两种选择，一是队列不动，栈中出去一个；另一种是队列取一个，放入栈中
    return f[i][j];
}

int main() {
    cin >> n;
    printf("%lld", dfs(n, 0));
    return 0;
}

使用记化搜索后，成功AC本题。

3、递推

既然可以使用递推，那么递推的步骤和思路是什么样的呢?
1、边界值
一定要有小的方向的边界！！！而且特别要注意元素个数是0的情况！！！

2、求啥就定义啥，按需求定义数组
$dp[i]$代表了$i$个元素的所有出管方法数量。

3、对$i$个元素的大场景进行子集合的切分，要不重不漏，一般是按最后一个不相同的点切分。
本题是按最后一个出栈元素进行划分开，分情况讨论。

对于从$j \in [1 , i]$来讲，第$j$个小球是最后一个出栈的，那么在它之前有$j-1$个元素先入栈，先出栈；在它之后，有$n-j$个小球后入栈，后出栈。那么，以它为最后一个出栈的方案数量就是$dp[i]=dp[j-1] \times dp[i-j]$(乘法原理)
对于$i$个小球来讲，就是如下的伪代码示意：

  for(int j=1;j<=i;j++)
     dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];//所有子集合的方案数量和，加法原理

完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
// h[i]：i个元素一共有h[i]种出管方式
// 0个元素，只有一种情况，这种情况就是啥也不出，啥也不出也算是一种场景。
// 1个元素，只有一种情况，就是出队列，进栈，出栈。
int n, dp[20] = {1, 1};

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)//最后出栈的元素假设是j
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i - j];//所有的可能性加在一起

    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}

4、卡特兰数解法

为什么会想到用卡特兰数公式来解这道题呢？
超棒的讲解
https://www.bilibili.com/video/BV1nE411A7ST?from=search&seid=2618099886973795159

#include <bits/stdc++.h>

// 超棒的讲解
// https://www.bilibili.com/video/BV1nE411A7ST?from=search&seid=2618099886973795159
using namespace std;

/**
如果n=1 1
如果n=2 2
如果n=3 5
如果n=4 14
如果n=5 42
如果n=6 132
如果n=7 429
如果n=8 1430
如果n=9 4862
如果n=10 16796
如果n=11 58786
如果n=12 208012
如果n=13 742900
如果n=14 2674440
如果n=15 9694845
如果n=16 35357670
如果n=17 129644790
如果n=18 477638700
卡特兰数！！！
 */
int catalan(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) return 1;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += catalan(i - 1) * catalan(n - i);
    return res;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << catalan(n) << endl;
    return 0;
}