P5743 小猴吃桃 题解

题目传递门

解题思路：

这道题大神们都不屑一顾，我却认为这是一道非常好的试题，可以让孩子们锻炼的东西太多了，太有用了。我试着推导一下，给不清楚的同学解惑。

1、假设第$10$天吃完（就是一个猜想的数字，和答案无关，也可以设成第$i$天吃完，太小孩子不好理解），就是第$10$天早上有$1$个桃子，设$s_{10}=1$。
2、第$9$天早上还未开始吃之前的数量，即$s_9$,我们想找出 $s_9$与$s_{10}$之间的关联关系，找到递推公式，就可以实现递推了。
3、第$9$天，吃了多少个桃子呢？是当天的一半加1个，就是 吃掉桃子数=$\frac{s_9}{2}+1$,那么当天吃完剩下的桃子数=$s_9-(\frac{s_9}{2}+1)$
4、而第$9$吃完剩下的，恰好就是第十天的开始数量，即$s_{10}=s_9-(\frac{s_9}{2}+1)$
5、去括号: $s_{10}=s_9-\frac{s_9}{2}-1=\frac{s_9}{2}-1$
6、等式两边都乘以$2$, $2*s_{10}=2*\frac{s_9}{2}-1*2$
7、整理得到:$2*s_{10}=s_9-2$,移项
8、$s_9=s*s_{10}+2$
9、如果是其它天数，比如$i$，可以整理出通项公式：$s_i=2*s_{i+1}+2$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
int n;


/**
 思路分析：
 1、比如第10天桃子数量为1，我们记为s10=1.
 2、那么我们可以考虑s9是多少？
 3、第9天时，吃掉了s9的一半，再加1个，然后变成的s10.就是 吃掉了：s9/2+1，剩下: s9-s9/2-1=s9/2-1=s10
 4、整理得到s9=2s10+2
 5、通项公式为 Si=2*S(i+1)+2
 6、还知道Sn=1
 */

/**
 * 递归函数的定义及参数理解是最重要的！
 * @param n 第几天
 * @return  x天剩余多少桃子
 */
int dfs(int x) {
    if (x == n) return 1;
    return 2 * dfs(x + 1) + 2;
}

int main() {
    cin >> n;
    //方法1：逆推
    LL ans = 1; //最后一天剩下一个
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) ans = ans * 2 + 2;
    cout << ans << endl;

    //方法2：递归法 顺推
    cout << dfs(1) << endl;
    return 0;
}