AcWing 一维前缀和与二维前缀和
一、一维前缀和
场景模拟：
老师让 班长糖豆 帮着计算一下全班同学语文考试的总分，老师负责读每个同学的分数，糖豆负责计算。
老师：“第一名，张三 \(100\)分”， 糖豆记录如下：\(100\)分
老师：“第二名，李四 \(99\)分”， 糖豆 擦去 \(100\)，修改为：\(199\)分
老师：“第三名，王五 \(98\)分”， 糖豆 擦去 \(199\)，修改为：\(297\)分
...
老师：“第四十五名，赵九 \(60\)分”， 糖豆 擦去 \(4179\),修改为：\(4239\)分
完事了，糖豆汇报总分：“\(4239\)分！任务结束！”
老师想了一想，问了一句：“那前十名共多少分？”
糖豆有点懵，因为把前十位的结果已经擦去啦！只能让老师从第一名开始到第十名再读一次。_
老师又想问:"那前二十名共多少分？"
糖豆彻底懵了，只能让老师从第一名开始到第二十名再读一次。_
老师也疯了！！！
看来这个办法不太行，老师的需求总变化！
那有什么办法呢？？糖豆会有办法的：
记录前\(i\)个同学的分数总和!不擦！
来吧，老师，你说你想要啥？
我想要前\(20\)名的分数总和！没问题，我记的就是这个，给你！
我想要\(20\)至\(30\)名的分数总和！啊？？？还想这么要？怎么办呢？
我们用数学的公式来描述一下，这样方便说明：
\(a[i]\)代表\(i\)号同学分数，\(s[i]\)代表\(i\)号同学及他以前的所有同学的分数总和。
那么有下面的关系式：
\(s[i-1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]\) ①
\(s[i]=\ \ \ \ \ \ \ a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]+a[i]\) ②
将①式代入②式，得到
\(s[i]=s[i-1]+a[i]\) ③
如果记录了这个\(s[i]\)，就能回答好多的问题：
1、第\(5\)名同学的分数是多少？
答：\(s[5]-s[4]\) ，为啥呢？因为③式的变形 \(a[i]=s[i]-s[i-1]\)
2、第\(1\)名到第\(10\)名同学的分数和是多少？
答：\(s[10]\) 为啥呢？因为前缀和定义就是从1到i的数据和嘛。
3、第\(5\)名到第\(10\)名同学的分数和是多少？
答：\(s[10]-s[4]\)
为啥呢？
其实我们想求的是：\(a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]\)
我们使用\(s[i]\)来构建上面的式子:
\(s[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\) ①
\(s[10]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+...+a[10]\) ②
将①式代入②式，就是\(s[10]=s[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]\)
移项得到:\(s[10]-s[4]=a[5]+a[6]+a[7]+a[8]+a[9]+a[10]\)
注意:
前缀和一般从数下标\(1\)开始，这是因为它的定义是\(s[i]=s[i-1]+a[i]\),如果\(i\)从\(0\)开始，\(s\)数组下标就会出现负数，这样还需一堆\(if\)判断，麻烦，所以，一般为了代码简单，我们都把\(a[0]=0\),通常在全局变量区域里定义\(a\)数组，这样连\(a[0]=0\)也省略了，\(s[0]\)其实也是定义在全局变量区域的，所以\(s[0]=0\)，这样操作代码就简单了。
1. 使用场景
给定一个原始数组，后面需要多次查询某一个的数值和，比如 \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(6\) \(3\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)，\(10\)个数字，需要问\(N\)次，每次问从x到y的位置，相加的和是几。
如果按普通想法，就是每问一次就计算一次，不利用以前的结果。这样假设每次的l到r的距离是m,很显然，共需要m*N次操作，如果使用了前缀和的预处理，计算一次前缀和，就是N次运算，得到一个结果数组s[N]，以后每次查询都是 \(s[r]-s[l-1]\)，就是一次运算，快了很多。
\(AcWing\) \(795\). 前缀和
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int q[N];
int s[N];
//一维前缀和
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> q[i];
s[i] = s[i - 1] + q[i];
}
while (m--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
}
return 0;
}
\(AcWing\) \(796\). 子矩阵的和
什么是二维前缀和？
a[N][M]假设为原数组，s[N][M]为二维前缀和数组，s[i][j]的意义是：原数组前i行，前j列的数组元素值的和。
说白了，就是1->i行,1->j列的所有元素值的和，就是左上角的格子内容和：
本质上和一维前缀和是一个意思，一维是第1个元素到第n个元素的累加和，二维是从左上角到(i,j)的累加和。
1、公式的推导
\(s[3][3]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]+a[2][3]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[3][1]+a[3][2]+a[3][3]\)
\(s[3][2]=a[1][1]+a[1][2]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[3][1]+a[3][2]\)
\(s[2][3]=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]+a[2][3]\)
\(s[2][2]=a[1][1]+a[1][2]\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a[2][1]+a[2][2]\)
观察上面4个式子，我们想要计算\(s[3][3]\)，还不想用笨办法，一个个用\(a[i][j]\)来累加出来，就可以利用已经算出来的结果值进行运算获得！
\(s[3][3]=s[3][2]+s[2][3]-s[2][2]+a[3][3]\)
抽象一下，就是：(如果感觉看代数式子不好理解，就用上面图理解就行啦！)
\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]\)
2、计算子区域的前缀和
3、C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N];
int s[N][N];
int main() {
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> a[i][j];
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] + a[i][j] - s[i - 1][j - 1];
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
}
return 0;
}
