洛谷 P1593 因子和 题解
一、前导知识
(1) 算术基本定理
1、唯一分解定理
2、约数和公式
(2) 相关数学知识扩展
3、等比数列求和公式
(3）取模办法
4、快速幂
5、费马小定理求逆元
二、解题思路
1、从约数和入手
既然要求约数和，那先分解质因数。根据唯一分解定理:
因为本题要分解的是\(a^b\)，上式写成：
要求的是约数和，套用约数和公式：
\(ans=(1+p_1^1 + {p_1}^2 + {p_1}^3 +...+{p_1}^{k_1*b}) * (1+p_2^1 + {p_2}^2 + {p_2}^3 +...+{p_2}^{k_2*b}) *... * (1+p_n^1 + {p_n}^2 + {p_n}^3 +...+{p_n}^{k_n*b})\)
2、计算等比数列
以第一个来举例讲解：\(sum_1=1+p_1^1 + {p_1}^2 + {p_1}^3 +...+{p_1}^{k_1*b}\)
利用等比数列求和公式，
\(\large \because a_1=1,q=p_1,n=k_1*b+1\)
\(\large \therefore sum_1=\frac{(p_1^{k_1*b+1}-1)}{p_1-1}\)
这又是\(k_1*b+1\)次方，后面还需要连乘积，结果很快就会非常大，计算机会装不下的，还好题目告诉可以取模，\(mod=9901\)。
3、思考如何取模
（1）不能真的暴力算出\(p_1^{k_1*b+1}\)吧？其实我们想算的是\(p_1^{k_1*b+1} \ mod \ 9901\)啊！
快速幂能快速算出\(n\)次方，又能在算的过程中取模，完美，此里使用快速幂！
（2）\(\frac{p_i^{k_i*b+1}-1}{p_i-1}\)这个东东怎么取模呢？
首先根据性质：
我们知道，减\(1\)不妨碍我们取模，问题的关键在于分数取模! 分数取模需要求逆元。
4、对分数取模
分数取模有两种情况，一：存在逆元，二：不存在逆元：
如果\(b\)和\(m\)互质，则\(\frac{a}{b}=a*x(mod \ m)\) ，即存在逆元；不互质就不存在逆元，也就不用求逆元，想其它办法。
- 如果分母\(p-1\)与\(9901\)互质：
求逆元，然后通过逆元将除\(p-1\)转化为乘\(p−1\)的逆元。
求逆元有两种办法：费马小定理和扩展欧几里得，费马小定理代码简单，但有限制：\(mod\)必须是质数。扩展欧几里得更通用，但代码长。
本题中\(mod=9901\)是质数，可以使用费马小定理:
本题中 \(q=p-1\)
int inv = qmi((p - 1) % MOD, MOD - 2); //快速幂+费马小定理求出逆元
- 如果分母\(p-1\)与\(mod\)不互质
也就是:
\(sum=1+p^1 + {p}^2 + {p}^3 +...+{p}^{k_1*b}\)
根据性质：
\((a + b) \% p = (a\%p + b\%p) \%p\)
\(\therefore sum \% 9901=1+(p\ \% \ 9001)^1 + (p\ \% \ 9001)^2 +(p\ \% \ 9001)^3+...+(p\ \% \ 9001)^{k*b}\)
即：
开始愉快的写代码吧：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 10010; //质数因子个数上限，因为a的数据范围是5*10^7,开根号就是10^4肯定能装得下了
const int MOD = 9901; //要模的质数
LL res = 1; //结果,因为是要乘来乘去，初始值需要给1
int a, b; //a的b次方
// 快速幂模板[与yxc的有一点点区别，把p=MOD写在代码里了，减少了参数传入]
int qmi(int a, int k) {
int res = 1; //答案
while (k) { //一路让k变小直到为0停止
if (k & 1) res = (LL) res * a % MOD; //如果k的个位是1的话
k >>= 1; //右移一位
a = (LL) a * a % MOD; //1-2-4-8-16，就是每进一位，是把a=a*a,注意使用long long 防止在乘积过程中爆了int
}
return res;
}
/**
* 功能：约数和公式的一部分，等比数列求和公式
* @param p
* @param k
* @return
*/
int sum(int p, int k) {
int res;
k *= b; //滚动生成幂次
if ((p - 1) % MOD == 0) res = (k + 1) % MOD; //当p-1是MOD倍数时，逆元不存在 res=(k+1)%MOD 就是上面推导的含义,
else {
//MOD是质数
int inv = qmi((p - 1) % MOD, MOD - 2); //快速幂+费马小定理求出逆元
//利用等比数列求和公式
res = (qmi(p % MOD, k + 1) - 1) % MOD * inv % MOD;
}
return res;
}
/**
* 功能：分解质数因数
* @param a 待分解的数字
*/
int primes[N]; //质数因子数组
int idx; //质数因子数组下标游标
int mc[N]; //mc对应着幂次
void Decomposition(int a) {
//清空，防止重复
memset(primes, 0, sizeof primes);
memset(mc, 0, sizeof mc);
idx = 0;
//开始
for (int i = 2; i * i <= a; i++) {
//如果发现a的一个因子i
if (a % i == 0) {
primes[++idx] = i; //质因子数组维护
mc[idx] = 1; //指数幂次数+1
a /= i; //去掉这个因子
while (a % i == 0) { //除干净它
mc[idx]++; //指数幂次数+1
a /= i; //继续缩小
}
}
}
//可能剩余一个很大的质因子数
if (a > 1) {
primes[++idx] = a;
mc[idx] = 1;
}
}
int main() {
//读入a和b,准备计算a^b
cin >> a >> b;
//对a分解质因子
Decomposition(a);
//连乘,遍历所有质数因子
for (int i = 1; i <= idx; i++)
res = res * sum(primes[i], mc[i]) % MOD;
//输出
printf("%d\n", (res % MOD + MOD) % MOD);//测试数据14中有负数，这样写才能通过！
return 0;
}
