取余与位运算

在C风格语言中（比如C，C++，C# (注：排名按出生日期 ^_^)），取余运算符定义为“%”。但在很久很久以前，CPU采用如下方法计算余数（注意，该方法只对2的N次方数系有效）：

X & (2^N - 1)

首先从求余数谈起，我们知道，计算机中存储的方式是0和1序列：

1 0001 2^0

2 0010 2^1

3 0011 2^1 + 1

4 0100 2^2

当我们把这些数字序列左移一位的时候... 是的，你答对了，相当与数字扩大为原来的2倍，同理可知右移一位就是缩小为原来的1/2。

那么余数在哪里？被移掉的那些位便是余数，这是无数前人的证明结果~可以自己拿笔和纸画一画就明白了。

那么，说了这么多，为什么一个求余的%被替换为：X & (2^N - 1)？

举例:

9 的二进制就是1001

8 的二进制就是1000

显然余数是1，按照公式这么做：

把8的二进制1000换为8-1也就是7，7的二进制表示为：0111

1001&0111 = 0001

答案为1与我们想的结果一致。

我们把9换成13，过程你亲自来一遍，结果在你没算错的情况下必然和我的一样：0101

但是注意，这种方法只是适合于求一个数除以二的N次冥才正确。

先说原理再说疑问：

原理：

由于除数是2^N （N为0起始递增的整数），所以隐藏条件就是，除数的2进制真身只能是如下的方式展现：

0001，0010，0100，1000.。。。。。

没看出来？那我们继续：

10000，100000，1000000.。。。。

明白了吧，当我们求余的时候，相当于除以2的N次冥，也就是相当于把数本身右移N位，但是移走的那些余数可一去不复返了。（什么？你说在CF寄存器中？嗯，这是个好注意，也许有另种一实现？！）。有什么办法保护这些即将失去的数据呢？

我们把上面的数字减一就发现：

0000，0001，0011，0111，01111，011111，0111111.。。。。。。

如您所见，当和1做位运算时候，得到的结果是那个数的本身。前面例子1001&0111= 0001相当于1001右移三位得到0001，那么（13）1101右移三位还是0001，这2个0001表示的是商，两个移走的余数分别是“001”和“101”，发现特征了嚒？除以2的N次方就是要保存被除数即将被移走的低N位。

好了，我知道上面我讲的可能不清楚，但是下面才是真正惊险的地方：

2^3=8 然后8表示为1000 有3个零，预示着右移位数，右移位数告诉我们被除数即将被移走几位，我们如果将这几位与1按位运算不就能知道这几位到底是0还是1，也就是能完全保存到移走的数据，它就是我们期望的余数。

嗯，我确信看完我的解释你还在晕眩之中，别管他们，该干嘛干嘛，睡完一觉之后我想我的这些话也许会被你的大脑自动解析，你最终也会明白这是怎么一回事。

嗯，我想说，如果早起电脑都这么做的话，那么求一个非2的N次冥的取余怎么来实现呢？