二叉树的定义、性质、存储

二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

特殊二叉树

1. 斜树

所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。斜树的每一层都只有一个结点，结点的个数与斜树的深度相同。

2. 满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。（上图中所示的二叉树，就是一棵满二叉树）

3. 完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中的编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i≥1）。（数学归纳法可证）

性质2：深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点（k≥1）。（由性质1，通过等比数列求和可证）

性质3：一棵二叉树的叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1。

证：结点总数n = n₀ + n₁ + n₂。设B为分支总数，因为除根节点外，其余结点都有一个分支进入，所以n = B + 1。又因为分支是由度为1或2的结点射出，所以B = n₁ + 2n₂。综上：n = n₀ + n₁ + n₂ = B + 1 = n₁ + 2n₂ + 1，得出：n₀ = n₂ + 1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log₂n) + 1 。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为floor(log₂n) + 1 ）的结点按层序编号，则对任一结点i（1≤i≤n）有：

（1）如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲PARENT(i)是结点 floor((i)/2)。

（2）如果2i > n，则结点i无左孩子；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。

（3）如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i + 1。

二叉树的存储

1. 顺序存储结构

二叉树可以用一维数组或线性表来存储，而且如果这是完全二叉树，这种方法不会浪费空间。

并且这种紧凑排列，如果一个结点的索引为i，则它的子结点能在索引2i+1和2i+2找到，并且它的父节点（如果有）能在索引floor((i-1)/2)找到（假设根节点的索引为0）。

对于一般的二叉树，其层序编号不能反映出逻辑关系，但是可以将其按照完全二叉树编号，只不过把不存在的结点设置为NULL即可。但这么做有一个问题，就是会浪费存储空间。最坏情况下，一个深度为k的斜树（只有k个结点），却需要长度为2^k-1的一维数组。所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

2. 链式存储结构

每个结点含有一个数据域和两个指针域（分别指向左右子树）。

// 二叉树的二叉链表存储表示

typedef struct BiTNode

{

TElemType data;

struct BiTNode *lchild,*rchild; // 左右孩子指针

}BiTNode,*BiTree;

利用这种结点结构所得的二叉树存储结构称之为二叉链表。在二叉链表中，如果想找到某个结点的双亲，需要从根节点开始遍历，所以有时为了便于找到结点的双亲，还可以在结点结构中增加一个指向其双亲结点的指针域，相应的二叉树存储结构称之为三叉链表。

Reference:

[1] 《大话数据结构》

[2] 《数据结构严蔚敏》

[3] wikipedia(二叉树)：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91