csu 2014 summer training day 2 莫比乌斯反演
题意：x,y,z<=1000000，x<=a,y<=b,z<=c,给定a、b、c,求gcd(x,y,z)=1的个数
解释：设 f(n)是gcd(x,y,z)=n的种数，F(n)=n|gcd(x,y,z)的种数
那么F(n)=f(n)+f(2n)....=sigm(f(d)){n|d}
那么根据反演公式 f(n)=sigm(u(d/n)*F(d)){n|d}
我们要求的是f(1)=sigm(u(1)*F(n)+u(2)*F(2n)+u(3)*F(3n).....) kn<=min(a,b,c)
F(d)=(x/d)*(y/d)*(z/d)
依次求和即可，求u(x)部分是模板
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 1001000 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 int K[maxn]; 10 int C[maxn]; 11 int U[maxn]; 12 bool flag[maxn]; 13 int prim[maxn/3]; 14 int cnt; 15 void culc(){ 16 cnt=0; 17 U[1]=1; 18 memset(flag,0,sizeof(flag)); 19 for(int i=2;i<=1000000;i++){ 20 if (!flag[i]){ 21 prim[cnt++]=i; 22 U[i]=-1; 23 } 24 for(int j=0;j<cnt;j++){ 25 if (i*prim[j]>1000000) break; 26 flag[i*prim[j]]=true; 27 if (i % prim[j]==0){ 28 U[i*prim[j]]=0; 29 break; 30 }else { 31 U[i*prim[j]]=-U[i]; 32 } 33 } 34 } 35 return ; 36 } 37 LL solve(int N){ 38 LL ans=0; 39 for(int i=1;i<=N;i++){ 40 LL k=N/i; 41 ans=ans+U[i]*k*k*(k+3); 42 } 43 44 return ans; 45 } 46 int t; 47 int N; 48 int main(){ 49 culc(); 50 scanf("%d",&t); 51 while(t--){ 52 scanf("%d",&N); 53 LL ans=solve(N); 54 printf("%lld\n",ans+3); 55 } 56 return 0; 57 }
题意：
给定b,d,K，求x<=b,y<=d中gcd(x,y)=K的个数，其中gcd(3,5)和gcd(5,3)算一种
分析：和上题类似，关键部分：
if(b > d)swap(b,d);
LL ans1=0,ans2=0;
for(int i=1; i<=b;i++)
ans1+=(LL)U[i]*(b/i)*(d/i);
for(int i=1; i<=b;i++)
ans2+=(LL)U[i]*(b/i)*(b/i);
ans1-=ans2/2;
简要说一下，当i>b时每次都加0，没意义。
当x<=b,y>b的时候，(b,d)只计算了一次
当x<=b,y<=b的时候，(b,d),(d,b)重复出现了两次
所以ans=ans1-ans2/2;
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 100100 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 int U[maxn]; 10 bool flag[maxn]; 11 int prim[maxn/3]; 12 int cnt; 13 void culc(){ 14 cnt=0; 15 U[1]=1; 16 memset(flag,0,sizeof(flag)); 17 for(int i=2;i<=100000;i++){ 18 if (!flag[i]){ 19 prim[cnt++]=i; 20 U[i]=-1; 21 } 22 for(int j=0;j<cnt;j++){ 23 if (i*prim[j]>100000) break; 24 flag[i*prim[j]]=true; 25 if (i % prim[j]==0){ 26 U[i*prim[j]]=0; 27 break; 28 }else { 29 U[i*prim[j]]=-U[i]; 30 } 31 } 32 } 33 return ; 34 } 35 LL solve(int b,int d){ 36 // LL ans=0; 37 // for(int i=1;i<=max(N,M);i++){ 38 // int m1=min(N/i,M/i); 39 // int m2=max(N/i,M/i)-m1; 40 // ans=ans+(LL)U[i]*(m1*(m1-1)/2+m1+m1*m2); 41 // } 42 if(b > d)swap(b,d); 43 LL ans1=0,ans2=0; 44 for(int i=1; i<=b;i++) 45 ans1+=(LL)U[i]*(b/i)*(d/i); 46 for(int i=1; i<=b;i++) 47 ans2+=(LL)U[i]*(b/i)*(b/i); 48 ans1-=ans2/2; 49 return ans1; 50 } 51 int t; 52 int N,M,K; 53 int main(){ 54 culc(); 55 scanf("%d",&t); 56 for(int cas=1;cas<=t;cas++){ 57 scanf("%d%d%d%d%d",&N,&N,&M,&M,&K); 58 LL ans; 59 if (K==0) ans=0; 60 else ans=solve(N/K,M/K); 61 printf("Case %d: %I64d\n",cas,ans); 62 } 63 return 0; 64 }
题意：给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.时限很长
分析：这里要求的gcd是素数，我们只要枚举N以内的素数即可，再求出相应的gcd=prim即可
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 10010000 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 int U[maxn]; 10 bool flag[maxn]; 11 int prim[maxn/3]; 12 int cnt; 13 void culc(){ 14 cnt=0; 15 U[1]=1; 16 memset(flag,0,sizeof(flag)); 17 for(int i=2;i<=10000000;i++){ 18 if (!flag[i]){ 19 prim[cnt++]=i; 20 U[i]=-1; 21 } 22 for(int j=0;j<cnt;j++){ 23 if (i*prim[j]>10000000) break; 24 flag[i*prim[j]]=true; 25 if (i % prim[j]==0){ 26 U[i*prim[j]]=0; 27 break; 28 }else { 29 U[i*prim[j]]=-U[i]; 30 } 31 } 32 } 33 return ; 34 } 35 LL solve(int N){ 36 LL ans=0; 37 for(int i=1;i<=N;i++){ 38 ans=ans+(LL)U[i]*(N/i)*(N/i); 39 } 40 return ans; 41 } 42 int t; 43 int N,M,K; 44 int main(){ 45 culc(); 46 scanf("%d",&N); 47 LL ans=0; 48 for(int i=0;i<cnt;i++) { 49 if (prim[i]>N) break; 50 ans+=solve(N/prim[i]); 51 } 52 printf("%lld\n",ans); 53 return 0; 54 }
题意：一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
分析：很好的一道题，代码中优详细说明
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 100000 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 LL F[maxn+100]; 10 int main(){ 11 LL n,m; 12 while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){ 13 if (n>m) swap(n,m); 14 LL ans=0; 15 for(int i=n;i>=1;i--){//我们要保证每次能除掉2i,3i...即比i大的F(x)，所以i只能从大向小求取 16 F[i]=(n/i)*(m/i);//gcd(x,y)=i,2i,3i....的数量 17 for(int j=2*i;j<=n;j+=i){//枚举 18 F[i]-=F[j];//去除掉gcd(x,y)=2i,3i,4i....的部分 19 } 20 //F[i]=gcd(x,y)=i的数量 21 ans+=F[i]*(2*i-1);//既然是取得的第i项，那么这些 22 } 23 printf("%lld\n",ans); 24 } 25 return 0; 26 }
HYSBZ 2301（综合）
题意：对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
分析：化简：gcd等式两边同除以k，求gcd=1即可，集合间的关系，再用分段优化
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 50000 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 int U[maxn+100]; 10 bool flag[maxn+100]; 11 int prim[maxn/3+100]; 12 int cnt; 13 void culc(){ 14 cnt=0; 15 U[1]=1; 16 memset(flag,0,sizeof(flag)); 17 for(int i=2;i<=maxn;i++){ 18 if (!flag[i]){ 19 prim[cnt++]=i; 20 U[i]=-1; 21 } 22 for(int j=0;j<cnt;j++){ 23 if (i*prim[j]>maxn) break; 24 flag[i*prim[j]]=true; 25 if (i % prim[j]==0){ 26 U[i*prim[j]]=0; 27 break; 28 }else { 29 U[i*prim[j]]=-U[i]; 30 } 31 } 32 } 33 return ; 34 } 35 int sum[maxn+100]; 36 //找[1,n],[1,m]内互质的数的对数 37 LL solve(int n,int m){ 38 LL ans=0; 39 if (n>m) swap(n,m); 40 for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1){ 41 last=min(n/(n/i),m/(m/i)); 42 ans+=(LL)(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i); 43 } 44 return ans; 45 } 46 47 int t; 48 int a,b,c,d,k; 49 int main(){ 50 culc(); 51 sum[0]=0; 52 for(int i=1;i<=maxn;i++){ 53 sum[i]=sum[i-1]+U[i]; 54 } 55 scanf("%d",&t); 56 for(int cas=1;cas<=t;cas++){ 57 scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); 58 LL ans; 59 a--,c--; 60 ans=solve(b/k,d/k)-solve(a/k,d/k)-solve(b/k,c/k)+solve(a/k,c/k); 61 printf("%lld\n",ans); 62 } 63 return 0; 64 }
题意：求gcd(x,y,z)=1的个数，但是卡时限，要分段优化，注意代码
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 #include <iostream> 5 #define maxn 1000000 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 9 int U[maxn+100]; 10 bool flag[maxn+100]; 11 int prim[maxn/3+100]; 12 LL sum[maxn+100]; 13 int cnt; 14 void culc(){ 15 cnt=0; 16 U[1]=1; 17 memset(flag,0,sizeof(flag)); 18 for(int i=2;i<=maxn;i++){ 19 if (!flag[i]){ 20 prim[cnt++]=i; 21 U[i]=-1; 22 } 23 for(int j=0;j<cnt;j++){ 24 if (i*prim[j]>maxn) break; 25 flag[i*prim[j]]=true; 26 if (i % prim[j]==0){ 27 U[i*prim[j]]=0; 28 break; 29 }else { 30 U[i*prim[j]]=-U[i]; 31 } 32 } 33 } 34 sum[0]=0; 35 for(int i=1;i<=maxn;i++) sum[i]=sum[i-1]+U[i]; 36 return ; 37 } 38 LL solve(int a,int b,int c){ 39 int m=max(a,b);m=max(m,c); 40 LL ans=0; 41 int Inf=1000100; 42 for(int i=1,last;i<=m;i=last+1){ 43 last=Inf; 44 if (i<=a) last=min(last,a/(a/i)); 45 if (i<=b) last=min(last,b/(b/i)); 46 if (i<=c) last=min(last,c/(c/i)); 47 // cout<<"last="<<last; 48 ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(((LL)a/last+1)*((LL)b/last+1)*((LL)c/last+1)-1); 49 // cout<<"ans="<<ans<<endl; 50 } 51 return ans; 52 } 53 int a,b,c; 54 int main(){ 55 culc(); 56 while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)!=EOF){ 57 a--;b--;c--; 58 LL ans=solve(a,b,c); 59 printf("%lld\n",ans); 60 } 61 return 0; 62 }
