20210629模拟

感觉今天的题解是大工程

T1

这道题的40分我觉的还是很好理解的，100分可能我自己理解的也不是很到位把，就是大致讲一下

40pts:

先定义几个状态：

f[i][j]表示恰好有i个人喜欢假钞j的概率

h[i][j][k]表示前i个人恰好有j个人喜欢假钞k的概率

g[i][j]表示第i种假钞一共选了j个，这种假钞的期望拿走个数

dp[i][j]表示前i种假钞一共选了j个的期望拿走个数

转移方程：

h[i][j][k] = h[i-1][j][k]\(\times\)(1-p[i][k])+h[i-1][j-1][k]*p[i][k];

这个就比较显然吧，第i个人喜欢或不喜欢的概率，f[i][j] = h[n][i][j]

g[i][j] = min(j,k)\(\times\)f[i][k] (\(0\leq k\leq m\))

其实分为两部分，如果喜欢i的人少于j个，那么就取k，否则取j，乘上对应的概率就好

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-k]+g[i][k])

一个简单背包

100pts:

g[i][j]-g[i][j-1] = \(\sum\limits_{k\leq k\leq n} f[i][k]\)这个地方题解好像打错了，我自己是推出来这个

不难发现他是非负且单调不升的，也就是说第i种假钞，选x+1个比选x个收益大，但是从x+1到选x+2个没有从x个到选x+1个增量大

所以我们每次可以贪心的选取增量最大的那个假钞，这里思路都是很明白的，那么代码怎么写呢？这也是我纠结了很久的地方

先看这部分

	rep(i, m)
	{
		dp[i][0] = 1;
		rep(j, n) dp[i][j] = dp[i][j - 1] * (1 - p[i][j]);
		dev[i] = 1 - dp[i][n];
	}

这里是在干嘛呢？？对于第一次的g的差量，为\(\sum\limits_{1\leq k\leq n} f[i][k]\)，就是有1，2，3，一直到n个人喜欢这个假钞

正难则反，我们求出都不喜欢的概率，然后用1去减就好了

然后每次我们都相当于去掉了恰好1个喜欢，恰好两个喜欢，恰好三个喜欢……，这部分的代码：

	rep(t, n)
	{
		int x = 1;
		rep(i, m) if (dev[x] < dev[i]) x = i;
		ans += dev[x];
		rep(j, n) rec[j] = dp[x][j];
		rec[0] = dp[x][0]; dp[x][0] = 0;
		rep(j, n) dp[x][j] = dp[x][j - 1] * (1 - p[x][j]) + rec[j - 1] * p[x][j];
		dev[x] -= dp[x][n];
	}

当前的dp比上一次的喜欢人数多1，rec和上一次的喜欢人数一样，强制让当前这个人喜欢或不喜欢他

在说的清楚点是什么呢，每次转移，如果现在已经多喜欢了一个人，当前人就不能喜欢了也就是dp[x][j-1]\(\times\)(1-p[x][j])，如果还没有多喜欢，我就让他喜欢，rec[j-1]\(\times\)p[x][j]

这样我dp就可以表示出每次的差量，差量在不断累加，最后就是我该选的数量对应的贡献

发现我讲讲就讲明白了哎，我觉的这份代码是最简洁，而且我应该是把代码思路阐述的最好的一个了吧，反正其他的我都没看懂……

T2

问题可以转化成每次选出一个点，然后把他所在的联通块里的点都捶一边，求每个点被捶的期望次数之和

可以考虑一个点会在其他点被选中时的期望被捶次数，可以被捶到当且仅当两点联通

也就是说，其他点不管，被选中的点j一定是两点路径上的点第一个被删除的，概率为1/点数（强制两点间的点都没选）

我应该是\(O(n^2log)\)的，暴力判断两两点之间的点数，不知道st表O(1)查询lca会怎么样

还有个\(O(n^2)\)可以对每个点dfs一次，和某种换根感觉差不多，求路径的逆元和呗，第三题给我写麻了，不然应该60的

T3

感觉不是难，也不是难写，也不知道为什么代码这么长，而且luogu上交还T

两个炮台可以来回转化，但是非a即b，我们是不是就可以联想到2-SAT问题？

这样我们对于每个炮台，暴力dfs判断横向和纵向是否合法，如果都不合法就IMPOSSIBLE

对于合法的方向，我们把这个炮台塞到用他能表示的点所属的炮台集合中（集合里的炮台横向发射或纵向发射可以到达该点）

我们容易证明对于每个点，最多只有两个炮台能到达他，为什么呢？？

如果有多个，证明一定有两个炮台同为横向或者纵向，按照光路可逆！证明他们俩一定会互相打到，不合法

最后如果每个点都被覆盖到，跑2-SAT，否则不合法

Day2

T1

T1真的是NOI模拟么？人均切的一道题

设dp[i][j]表示前i个蒲公英，时间为t，能的得到的最高魔法值，转移的是时候需要满足转移前的魔法值大于所需魔法值

但是前两个样例都很水，所以有个小tips，如果之前有个魔法值大的点不能满足，但是取过一些蒲公英后满足了，这个点就被我们忽视掉了

所以我们按照魔法值拍个序就好了，再就是输出方案了，我还卡了一段时间，不过还算比较简单吧

T2

暴力怎么做？

把每一次轮换都加到Trie树上，然后在Trie树上dp

优化：直接建后缀树，在后缀树上Dp，其中压在一个节点上的链可以快速处理转移