树上差分--树链剖分的前置知识 P3128 [USACO15DEC]Max Flow P，P2680 运输计划
树上差分
树上差分，就是利用差分的性质，对路径上的重要节点进行修改（而不是暴力全改），作为其差分数组的值，最后在求值时，利用\(dfs\)遍历求出差分数组的前缀和，就可以达到降低复杂度的目的，可以应用于求对树上的一段路径进行操作，并询问某个点或某条边被经过的次数
点差分
设将两点\(u\),\(v\)之间路径上的所有点权增加\(x\)，\(res=LCA(u,v)\),\(res\)的父亲节点为\(tmp\)，则操作如下：
siz[u]+=x,siz[v]+=x,siz[res]-=x,siz[tmp]-=x;
这样，只要\(dfs\)一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点的最终权值
例题： 点差分板子
code：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
int read(){
int x = 1,a = 0 ;char ch = getchar();
while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
return x*a;
}
const int maxn = 1e5+10;
int n,k;
struct node{
int to,nxt;
}ed[maxn*2];
int head[maxn*2],tot;
void add(int u,int to){
ed[++tot].to = to;
ed[tot].nxt = head[u];
head[u] = tot;
}
int f[maxn][30],dep[maxn],siz[maxn];
void dfs(int x,int fa){
dep[x] = dep[fa] + 1;
for (int i = 1;i <= 22;i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
for (int i = head[x];i;i = ed[i].nxt){
int to = ed[i].to;
if (to == fa) continue;
f[to][0] = x;
dfs(to,x);
}
}
int lca(int x,int y){
if (dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
for (int i = 22;i >= 0;i--){
if (dep[f[y][i]] >= dep[x]) y = f[y][i];
}
if (x == y) return x;
for (int i = 22;i >= 0;i--){
if (f[y][i] != f[x][i]) x = f[x][i],y = f[y][i];
}
return f[x][0];
}
void dfs2(int x,int fa){
for (int i = head[x];i;i = ed[i].nxt){
int to = ed[i].to;
if (to == fa) continue;
dfs2(to,x);
siz[x] += siz[to];
}
}
int main(){
n = read(),k = read();
for (int i = 1;i <= n-1;i++){
int x = read(),y = read();
add(x,y);add(y,x);
}
dfs(1,0);
for (int i = 1;i <= k;i++){
int x = read(),y = read();
int res = lca(x,y),tmp = f[res][0];
siz[x]++,siz[y]++,siz[res]--,siz[tmp]--;
}
dfs2(1,0);
int num = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) num = max(num,siz[i]);
printf("%d\n",num);
return 0;
}
边差分
设将两点𝑢,𝑣之间路径上的所有边权增加\(x\)，\(res=LCA(u,v)\)，以每条边两端深度较大的节点存储该边的差分数组，则操作如下：
siz[u]+=x,siz[v]+=x,siz[res]-=2*x
同样地，只要\(dfs\)一遍，遍历时统计以每个节点为根的树的节点的权值和，就是当前节点到父亲节点的边的最终权值了！
例题:
problem： 问题大概可以概括为给定\(m\)条路径，将路径里的一条边清零，使路径长度的最大值最小，求这个最小值
solution： 假这个最小值为\(x\)，那么\(m\)条路径中所有长度比\(x\)大的路径，都会有同一条路径被删去（注意删去的是同一条路径）。那么这个\(x\)如何才能合法呢，找所有比\(x\)大的路径\(k\)条，做差分，求出每条路径的经过次数，如果恰好经过\(k\)次，就说明可以删去它，看删去他后最长的那条路径是否\(\leq x\)就可以判断该答案合不合法，二分\(x\)，如果满足，那么说明比\(x\)大的也能满足，搜左区间，如果不满足，说明比\(x\)小的也不满足，搜右区间
code:
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int read(){
int x = 1,a = 0;char ch = getchar();
while (ch < '0'||ch > '9'){if (ch == '-') x = -1;ch = getchar();}
while (ch >= '0'&&ch <= '9'){a = a*10+ch-'0';ch = getchar();}
return x*a;
}
const int maxn = 3e5+10;
int n,m;
struct node{
int to,nxt,w;
}ed[maxn*2];
struct ask{
int x,y,dis;
}a[maxn];
int f[maxn][30],dis[maxn],pos[maxn],dep[maxn];
int siz[maxn];
int head[maxn*2],tot;
void add(int u,int to,int w){
ed[++tot].to = to;
ed[tot].nxt = head[u];
ed[tot].w = w;
head[u] = tot;
}
void dfs1(int x,int fa){
dep[x] = dep[fa] + 1;
for (int i = 1;i <= 22;i++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
for (int i = head[x];i;i = ed[i].nxt){
int to = ed[i].to;
if (to == fa) continue;
dis[to] = dis[x] + ed[i].w;f[to][0] = x;pos[to] = i;
dfs1(to,x);
}
}
int lca(int x,int y){
if (dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
for (int i = 22;i >= 0;i--){
if (dep[f[y][i]] >= dep[x]) y = f[y][i];
}
if (x == y) return x;
for (int i = 22;i >= 0;i--){
if (f[y][i] != f[x][i]) x = f[x][i],y = f[y][i];
}
return f[x][0];
}
bool cmp(ask x,ask y){
return x.dis < y.dis;
}
void dfs2(int x,int fa){
for (int i = head[x];i;i = ed[i].nxt){
int to = ed[i].to;
if (to == fa) continue;
dfs2(to,x);
siz[x] += siz[to];
}
}
bool check(int s){
int num = 0;
for(int i = 1;i <= m;i++) {
if(a[i].dis <= s) continue;
int tmp = lca(a[i].x,a[i].y);num++;
siz[tmp] -= 2,siz[a[i].x]++,siz[a[i].y]++;
}
dfs2(1,0);
int maxx = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) {
if(siz[i] == num) {
maxx = max(maxx,ed[pos[i]].w);
}
}
memset(siz,0,sizeof(siz));
return a[m].dis-maxx <= s;
}
int main(){
n = read(),m = read();
for (int i = 1;i <= n-1;i++){
int x = read(),y = read(),w = read();
add(x,y,w),add(y,x,w);
}
dfs1(1,0);
for (int i = 1;i <= m;i++){
a[i].x = read(),a[i].y = read();
int res = lca(a[i].x,a[i].y);
a[i].dis = dis[a[i].x] + dis[a[i].y] - 2*dis[res];
}
sort(a+1,a+m+1,cmp);
int l = 0,r = 1e9,mid;
while (l<r){
mid = (l+r)>>1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid+1;
}
printf("%d\n",r);
return 0;
}
