exgcd有关同余问题

关于同余关系的一些定理：

1. 自反性：\(a\equiv a\pmod{m}\)

2. 对称性：\(a\equiv b\pmod{m}\),则\(b\equiv a\pmod{m}\)

3. 传递性：\(a\equiv b\pmod{m}\)，且\(b\equiv c\pmod{m}\)，则\(a\equiv c\pmod{m}\)

同余的三则运算：

若\(a,b,c\)为整数，\(m\)为正整数，且\(a\equiv b\pmod{m}\)

1. \({a+c}\equiv {b+c}\pmod{m}\)

2. \({a-c}\equiv {b-c}\pmod{m}\)

3. \({a\times c}\equiv {b\times c}\pmod{m}\)

同余式的三则运算：

\(a,b,c,d\)为整数，\(m\)为正整数，且\(a\equiv b\pmod{m}\)，\(c\equiv d\pmod{m}\)

1. \({ax+cy}\equiv {bx+dy}\pmod{m}\)其中\(x,y\)为任意整数，即同余式可以相加

2. \({a\times b}\equiv {c\times d}\pmod{m}\)，即同余式可以相乘

3. \({a^n}\equiv {b^n}\pmod{m}\)，其中\(n>0\)

4. \(f(a)\equiv f(b)\pmod{m}\)，其中\(f(x)\)为任意整数系多项式

扩展欧几里得:

数论证明就算了吧，利用扩展欧几里得定理我们可以求解\(ax+by=gcd(a,b)\)的问题

如果我们现在要求\(ax+by=m\)，我们可以先用扩展欧几里得求\(ax+by=gcd(a,b)\)，如果\(gcd(a,b)\)不能整除\(m\)则无解，否则在\(modm\)的意义下有\(gcd(a,b)\)个解，所有的解可以通过对其中一个解加减\(\dfrac{b}{gcd(a,b)}\)得到

code:

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if (!b){x = 1,y = 0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y -= (a/b)*x;
	return;
}