kmp求循环节问题-- CF526D Om Nom and Necklace

玄学的字符串算法可能并不能讲明白，谅解

kmp算法流程

假如,\(A=abababaababacb\),\(B=ababacb\).我们来看看\(KMP\)是怎么工作的。我们用两个指针\(i\)和\(j\)分别表示，\(A_{i-j+1\rightarrow i}\)与\(B_{1\rightarrow j}\)完全相等。也就是说,\(i\)是不断增加的，随着\(i\)的增加\(j\)相应地变化，且\(j\)满足以\(A_i\)结尾的长度为\(j\)的字符串正好匹配\(B\)串的前\(j\)个字符（\(j\)越大越好），现在需要检验 \(A_{i+1}\)和\(B_{j+1}\)的关系。当\(A_{i+1}=B_{j+1}\)时,\(i\)和\(j\)各加一；当\(j=m\)了，我们就说\(B\)是\(A\)的子串（\(B\)串已经完整匹配了），并且可以根据这时的\(i\)值算出匹配的位置。当 \(A_{i+1} \neq B_{j+1}\) ,\(KMP\)的策略调整\(j\)的位置（减小\(j\)值）使得\(A_{i-j+1\rightarrow i}\)与\(B_{1\rightarrow j}\)保持匹配且尝试匹配新的\(A_{i+1}\)与\(B_{1\rightarrow j}\)（\(j\)的值这里仍然尽量大）。

举例说明

当\(i=j=5\)时

此时，\(A_6 \neq B_6\)。表明，此时\(j\)不能等于\(5\)了，我们要把\(j\)改成比它小的值\(j'\) ,\(j'\)可能是多少呢？仔细想一下，我们发现，\(j'\)必须要使得\(B_{1\rightarrow j}\)中的头\(j'\)个字母和末\(j'\)个字母完全相等（这样就可以直接把\(B\)串移到后面来）。这个\(j'\)当然要越大越好,在这里，\(B_{1\rightarrow 5}=ababa\)头\(3\)个字母和末\(3\) 个字母都是\(aba\),而当新的\(j\)为\(3\)时\(A_6\)恰好和\(B_4\)相等,于是，\(i\)变成了\(6\),而\(j\)则变成了\(4\)

结论：

循环节问题：最短循环节的长度\(len=i-fail_i\)，如果\(i%len=0\)，那么就存在循环节，否则不存在

例题：

这道题我们想要求出前缀是否满足\(ABABABA\)的形式，即\(A\)和\(B\)交替出现且最后\(A\)结尾，又因为\(A\)可以为空串，就可以改写成\(SSSSSA\)和\(SSSSS\)两种形式，其中\(S\)为一个完整的循环节，\(A\)为循环节加一个前缀。

不难发现几个循环节可以拼成一个循环节，所以给出的形式中\(AB\)就相当于若干最短循环节\(\frac{num}{k}\)个循环节拼在一起,算数意义也就是\(num\)个循环节平均分出\(k\)个，那么剩余的\(A\)就相当于若干循环节加若干循环节的前缀\(num\%k\)个循环节+\(W\)，算数意义就是\(num\)个循环节平均分成\(k\)后剩下的循环节个数

由于我的\(A\)是\(AB\)的一部分,所以第一种情况我\(A\)包含的循环节个数要小于\(AB\)包含的循环节个数，因为我\(A\)还会加上一个循环节的前缀，如果个数相等\(A\)就比\(AB\)长了，显然矛盾，更别提个数比\(AB\)大，第二种情况只需要\(A\)包含的循环节个数等于\(AB\)包含的循环节个数就可以,因为\(A\)此时可以为空

所以我们可以得到判断公式:

\(\begin{cases}ans_i = (\frac{num}{k}-num\%k > 0)&i\%len \neq 0 \\ ans_i = (\frac{num}{k}-num\%k\geq 0)&i\%len=0 \end{cases}\)

code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
int n,k;
char s[maxn];
int ans[maxn],kmp[maxn];
int main(){	
	scanf ("%d%d",&n,&k);
	scanf ("%s",s+1);
	int j = 0;
	for (int i = 2;i <= n;i++){
		while (j&&s[i] != s[j+1]) j = kmp[j];
		if (s[i] == s[j+1]) j++;
		kmp[i] = j;
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		int num = i-kmp[i];int len = i/num;
		if (i%num != 0) ans[i] = ((len/k-len%k)>0);
		else ans[i] = ((len/k-len%k)>=0);
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++) printf("%d",ans[i]);
	return 0;
}