民科吧编程赛 题解
评：没几个人做呀，是因为我的知名度不如小梦，还是出的太难了？
1.选择题
【题目简介】
只允许使用四则运算，求出任意正数 $ x $ 的自然对数 $ \ln (x) $
【思路&解答】
由于无法使用 $ \ln $ 函数，所以普通的方法，如二分法，牛顿法等依托原函数的迭代法无法使用。
考虑到 $ \ln (x)$ 的特殊性质 $ \ln (x) ' = \frac{1}{x} $ ，可以使用积分方法求出。
自适应辛普森法（推导过程不再给出）
$ \int _a ^b f(x) d x \approx \dfrac{(b-a)(f(a)+f(b)+4f( \frac{a+b}{2} )}{6} $
递归计算精度是否满足要求，具体过程不再给出。
值得点出的是， 当 $ x>1 $时，要 $ x = 1$ 从开始进行正积分，当 $ 0<x<1 $ 时，要从 \(x=1\) 开始进行负积分，否则误差会很大。
注意不要使用 \(\ln(ab)= \ln a + \ln b\) 和近似公式来完成这道题。因为为了用这个你可能还得写上上百行代码，而且亲测使用近似公式的话即使在取到也会有的偏差。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
long double a,l2=1,r;
double f(double x){
return 1/x;
}
double simps(double a,double b){
double c=(a+b)/2.0;
return (f(a)+f(b)+4.0*f(c))*(b-a)/6.0;
}
double zsy(double a,double b,double eps){
double c=(a+b)/2.0;
double mid=simps(a,b),L=simps(a,c),R=simps(c,b);
if(fabs(L+R-mid)<=15*eps)return L+R+(L+R-mid)/15.0;
return zsy(a,c,eps/2.0)+zsy(c,b,eps/2.0);
}
int main(){
cin>>r;
if(r<1)cout<<fixed<<setprecision(6)<<"-"<<zsy(r,1,eps);
else cout<<fixed<<setprecision(6)<<zsy(l2,r,eps);
}
填空题
这道题是被骂的最狠的一道。因为导数太毒瘤。
此题难点在于 $ \sin x $ 函数的四则运算表达和函数最值的计算。
可以通过公式 $ \lim \limits_{\Delta x \to 0} \sin{x} = x $ 和二倍角公式 $ \sin( \alpha + \beta )= \sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha $ 进行计算。
函数计算代码如下：
//没有加诱导公式
const double init=0.0001;
const double pi=3.14159265;
double sinx[15]={0.0001,0.0002,0.0004,0.0008,0.0016,0.00319999,0.00639996,0.01279965,0.02559720,0.05117763,0.10222114,0.20337134,0.39824245,0.73059982,0.99771574};
long double getsin(long double x){
if(x<=init)return x;
int bei=14;
while(bei--){
if(x==(init*(1<<bei)))return sinx[bei];
if(x>(init*(1<<bei))){
long double tmpS=getsin(x-init*(1<<bei));
long double tmpC=sqrt(1-tmpS*tmpS);
return tmpS*sqrt(1-sinx[bei]*sinx[bei])+tmpC*sinx[bei];
}
}
}
开平方函数四则运算计算方法不再赘述。
观察函数，下面恒>0，上面的函数很容易看出来
再看分母，当\(x\)很大时函数基本为0，所以可以使用爬山法求最值。
爬山法：
随机取一点，判断该点处是上坡还是下坡，上坡则将该点往前进，下坡则往后退，多次迭代后可求出最值。
为了防止出现该点卡在题图中给出的双峰函数比较小的峰上，可以多次随机取点得到最大值。
本题当然也可使用快速傅里叶变换，但很显然为了这么简单一道题用这么复杂的算法很不值得……
注意玄学错误：l和r会卡在两个相对山峰上出不来，这时候得判一判
不过还是建议使用一个变量
双变量代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,ans,delta=1e-6;
long double f(double x) {
return (a*x*x*x-b*x*x)/(exp(x*x-sin(x)-1));
}
double getdel(double x) {
return f(x+delta)-f(x);
}
void pa() {
double l=b/a;
double r=(double)rand()/100;
while(r-l>1e-6) {
double step=(r-l)/100;
if(getdel(l)<1e-8)l-=step; //注意玄学错误：l和r会卡在两个相对山峰上出不来，这时候得判一判
if(getdel(r)>1e-8)r+=step;//不过还是建议使用一个变量
if(getdel(l)>1e-8)l+=step;
if(getdel(r)<1e-8)r-=step;
}
ans= ans>f(l)? ans:f(l);
}
int main() {
srand(time(NULL));
cin>>a>>b;
for(register int i=3; i; i--)pa();
cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans;
return 0;
}
单变量代码（还没优化……容易被卡）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double a,b,ans,delta=1e-6;
long double f(double x) {
return (a*x*x*x-b*x*x)/(exp(x*x-sin(x)-1));
}
double getdel(double x) {
return f(x+delta)-f(x);
}
void pa() {
double as=(double)rand()/1000;
double step=1;
double t=100;
while(abs(t)>1e-7) {
t=getdel(as);
step=t;
if(getdel(as)<0)as-=step;
if(getdel(as)>0)as+=step;
}
ans= ans>f(as)? ans:f(as);
}
int main() {
srand(time(NULL));
cin>>a>>b;
for(register int i=10; i; i--)pa();
cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans;
return 0;
}
3.解答题
这次民科吧大赛出的最失败的一道题，本来想的只能用模拟退火写的题被左茂雄老师一个质心公式秒掉……
题目灵感源于： [JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX
1.质心公式法：
$ x_{ \sigma} = \dfrac { \sum { i=1 } ^ { n } x_i m_i}{ \sum {i=1}^{n}m_i} $
$ y_{ \sigma} = \dfrac { \sum { i=1 }^{n}y_i m_i}{\sum^{n}m_i} $
2.模拟退火：
1.随机出来一个质心并通过该质心得到各质点矢径
2.计算各质点对质心的贡献向量并相加。
3.向着加和方向走一点点
4.迭代回到第二步，直到无路可走，该点为质心。
代码如下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
using namespace std;
struct med{
int x;
int y;
int w;
};
med a[1005];
double ansx,ansy,ans=1e18,t;
int n,sx,sy;
const double delta=0.993;
double calce(double x,double y){
double ret=0;
for(register int i=1;i<=n;i++){
double deltax=x-a[i].x,deltay=y-a[i].y;
ret+=sqrt(deltax*deltax+deltay*deltay)*a[i].w;
}
return ret;
}
void sa(){
double x=ansx,y=ansy;
t=3000;
while(t>1e-17){
double xx=x+((rand()<<1)-RAND_MAX)*t;
double yy=y+((rand()<<1)-RAND_MAX)*t;
double now=calce(xx,yy);
double Delta=now-ans;
if(Delta<0){
x=xx,y=yy;
ansx=x,ansy=y,ans=now;
}
else if(exp(-Delta/t)*RAND_MAX>rand())x=xx,y=yy;
t*=delta;
}
}
void solve(){
ansx=(double)sx/n,ansy=(double)sy/n;
while(clock()<0.7)SA();
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
srand(time(NULL));
cin>>n;
for(register int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].w;
}
solve();
cout<<fixed<<setprecision(3)<<ansx<<" ";
cout<<fixed<<setprecision(3)<<ansy;
return 0;
}
