全文地址：15届蓝桥杯省赛A组解题报告

问题描述

小蓝正在玩拼图游戏，他有 $7385137888721$ 个 $2×2$的方块和 $10470245$ 个 $1×1$ 的方块，他需要从中挑出一些来拼出一个正方形，比如用 $3$ 个 $2×2$ 和 $4$ 个 $1×1$ 的方块可以拼出一个 $4×4$ 的正方形，用 $9$ 个 $2×2$ 的方块可以拼出一个 $6×6$ 的正方形，请问小蓝能拼成的最大的正方形的边长为多少。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

一道不怎么好玩的数学题，跟算法一点关系也没有。

知识点：按win+r,输入calc可以打开电脑上的计算器。

第一步：计算理论能拼成的最大正方形：

$\sqrt{7385137888721*4+10470245*1}=5435123$

第二步：计算该正方形是否可行：

由于$5435123$是一个奇数，所以必然四周包裹着一拳$1*1$的正方形（这是唯一可行的拼凑方法）。计算发现，$1*1$的正方形个数最大只能支持包裹边长为$5235122$的正方形

第三步：更换其他可能的正方形：

中间的$2*2$可以组成最大$5435122$边长的正方形。由第二步可知不存在其他方案更大，故此题答案为$5435122$

5435122

问题描述

数学家们发现了两种用于召唤强大的数学精灵的仪式，这两种仪式分别被称为累加法仪式 $A(n)$和累乘法仪式 $B(n)$。

累加法仪式 A(n)是将从 1 到 n 的所有数字进行累加求和，即：

累乘法仪式 B(n) 则是将从 1 到 n 的所有数字进行累乘求积，即：

据说，当某个数字 i 满足 $A(i)−B(i)$ 能被 100整除时，数学精灵就会被召唤出来。

现在，请你寻找在 $1$ 到 $2024041331404202$ 之间有多少个数字 $i$，能够成功召唤出强大的数学精灵。

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

根据题目已知，我们可以得到：

不难看出：

1. $\forall n\geq 10 ,B(n)\equiv 0 \pmod{100}$

2. $\dfrac{n(n+1)}{2}\equiv \dfrac{(n+200)(n+201)}{2} \pmod{100}$

   （也即$A(n)\equiv A(n+200) \pmod{100}$）

这两个式子代表什么呢？代表着存在有循环长度为$200$的特定的$n\geq10$可以满足题目中给的条件。具体的有：24,175,199,200,224,375,399,400,424,575,599,600,624,775...

可以看到在每$200$个数中出现了$4$个，故在$2024041331404202$中，有$40480826628084$个$i$符合题意。

注意：我们此处没有讨论$1-10$之间的符合条件的数。实际上其中仍然有两个$A(1)=B(1),A(3)=B(3)$，故最后答案应该为$40480826628086$

QED

40480826628086

问题描述：在诗人的眼中，数字是生活的韵律，也是诗意的表达。

小蓝，当代顶级诗人与数学家，被赋予了"数学诗人"的美誉。他擅长将冰冷的数字与抽象的诗意相融合，并用优雅的文字将数学之美展现于纸上。

某日，小蓝静坐书桌前，目光所及，展现着 $n$ 个数字，它们依次为 $a_1,a_2,…,a_n$，熠熠生辉。小蓝悟到，如果一个数能够以若干个（至少两个）连续的正整数相加表示，那么它就蕴含诗意。例如，数字 $6$ 就蕴含诗意，因为它可以表示为 $1+2+3$。而 $8$ 则缺乏诗意，因为它无法用连续的正整数相加表示。

小蓝希望他面前的所有数字都蕴含诗意，为此，他决定从这 $n$个数字中删除一部分。请问，小蓝需要删除多少个数字，才能使剩下的数字全部蕴含诗意？

不难发现，对于奇数可以写作两个连续的数的和：

$\forall n=2k+1,k\in N,n=k+(k+1)$（几乎是一句废话）

对于偶数，我们就考虑的多了（鸣式）。偶数应至少是三个或者以上的连续的数和。

我们可以继续，从求和公式的奇偶性下手，令：

我们重点讨论后面的求和公式项的奇偶性：$\dfrac{k(2a+k-1)}{2}$ 。不难发现，项$k$和项$2a+k-1$的奇偶性相反；当$k$为奇数时，$2a+k-1$必然为偶数，反之亦然。

烧脑的第一部分结束了，到上一步我们证明了所有有诗意的数必然有奇数因数。也就是说，任何数如果是$2$的幂次方，必然没有诗意：

下面我们证明其必要性：任何数如果不是$2$的幂次方，必然有诗意：

随机取一个非$2$的幂次方的偶数$n$,将其写作一个奇数$o$和一个偶数$e$的乘积：$n=o*e$

• 当$o>e$时，令$k=e$，则$a=\dfrac{o+1-e}{2}$，不难看出$a\in N_+$;

• 同理，当$o<e$时，令$k=o$，则$a=\dfrac{e+1-o}{2}$，不难看出$a\in N_+$.

由上，对每个$n$，我们总能找到符合要求的$f(a,k)$，充分性可以证明。

所以，题目中需要的诗意数字 ，只需要判断其是否为$2$的幂次方即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans;
bool chk(long long k){
  int s=0;
  while(k){
    s+=k&1;
    k>>=1;
  }
  if(s==1)return true;
  return false;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(register int i =1;i<=n;i++){
		cin>>m;
		if(chk(m))ans++;
	}
	cout<<ans;
} 

问题描述：

小蓝在无聊时随机生成了一个长度为 $n$ 的整数数组，数组中的第 $i 个数为 $a_i$，他觉得随机生成的数组不太美观，想把它变成回文数组，也是就对于任意 $i∈[1,n]$ 满足 $a_i=a_{n−i+1}$。小蓝一次操作可以指定相邻的两个数，将它们一起加 $1$ 或减 $1$；也可以只指定一个数加 $1$ 或减 $1$，请问他最少需要操作多少次能把这个数组变成回文数组？

问题描述：

答案提交：

问题描述：

小蓝和小乔正在森林里砍柴，它们有 $T$ 根长度分别为 $n_1,n_2,⋯,n_T$ 的木头。对于每个初始长度为 $n$ 的木头，小蓝和小乔准备进行交替砍柴，小蓝先出手。

每次砍柴时，若当前木头长度为 $x$，需要砍下一截长度为 $p$ 的木头，然后换另一个人继续砍，其中 $2≤p≤x 且 p 必须为质数$。当轮到某一方时 $x=1$ 或 $x=0$，它就没法继续砍柴，它就输了。它们会使用最优策略进行砍柴。请对每根木头判断是小蓝赢还是小乔赢，如果小蓝赢请输出 $1$（数字 $1$），如果小乔赢请输出 $0$（数字 $0$）。

完全信息博弈。所以对于任意一个初始态，先手一定有必胜或必败策略。

博弈论中，我们将初始态分为两种：必胜和必败。

1. 定义：开局即失败的状态为先手必败态；
2. 对于无论先手何种合法操作，后手总能找到相应的合法操作能够转移到先手必败态的状态，称为先手必败态；
3. 非先手必败态一律为先手必胜态。

以这题为例：

由第一条，我们知道，$\{0,1\}$是先手必败态集合（定义）；

对于$\{2,3,4,5,6,7,8\}$，总能找到一步合法操作，转移到后手上时成为先手必败态$\{0,1\}$；($2-2,3-3,4-3,5-5,6-5,7-7,8-7$)；

对于$\{9,10\}$，所有的合法操作转移到后手上时都是先手必胜态，所以$\{0,1,9,10\}$是先手必败态.

多重复几遍这样的操作，你会发现这个过程很像动态规划。对于一个初始状态，如果任意合法操作都不能将其导向先手必败态，那么这个初始状态就是一个先手必败态。

我们可以建一个集合$S$，先处理出所有合法操作（也即质数集），再新建一个集合$T$，存放先手必败态。同时遍历初始状态。

你当然可以代码实现这种事情，但是时间复杂度是$O(n^2T)$，保险起见我们可以在考场上打表解题。

顺便说一句，赛场上我也是用的这种方法，试出来比赛系统的代码上线是$100kB$

打表程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[100009]= {1,2,3},p0=2;
int los[100009]={0,0,1},l0=2;
void isprime() {
	for(register int k=5; k<=100000; k++) {
		bool chk=1;
		for(register int i=1; i<=p0; i++) {
			if(k%p[i]==0) {
				chk=0;
				break;
			}
		}
		if(chk)p0++,p[p0]=k;
	}
}
int main() {
	freopen("Eans.txt","w",stdout);
	isprime();
	for(register int i=2; i<=100000; i++) {
		bool chk=1;
		for(register int j=1;j<=p0;j++){
			if(i<p[j])break;
			if(binary_search(&los[1],&los[l0+1],i-p[j])){
				chk=0;
				break;
			}
		}
		if(chk)l0++,los[l0]=i;
	}
	cout<<l0<<endl;
	for(register int i=1;i<=l0;i++){
		printf("%d,",los[i]);
	}
	fclose(stdout);
	return 0;
}

提交程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[]={0,1,9,10,25,34,35,49,55,85,91,100,115,121,125,133,145,155,169,175,187,195,205,217,235,247,253,259,265,289,后略};
int main(){
	int T,q;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>q;
		if(binary_search(ans,ans+15066,q))cout<<0<<endl;
		else cout<<1<<endl;
	}
}

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本文作者：小红
本文链接：https://www.cnblogs.com/little-red/p/-/lanqiao_15_prov.html
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