树剖笔记
树剖是一种解决树上问题的思想。重链剖分一般就是所说的树链剖分，简称树剖。
先思考问题一：如何实现查询树上两点间最短路径代价和？
容易发现可以维护所有点到根节点的距离和，再用倍增求 lca。不妨记两点分别为 \(x,y\)，到根节点的距离为 \(dis\)，即答案为 \(dis_x+dis_y-2\times dis_{lca(x,y)}\)。
问题二：如何实现树上区间加？
更容易地，我们能想到做树上差分，能够做到 \(O(1)\) 的修改。不做过多赘述。
拼起来？
这时会发现不太好做了，查询的话需要还原整个差分树，复杂度很高，不能接受。
真正优秀的算法是基于暴力的，我们思考暴力。
对于问题一，暴力的做法仍是向上跳，设 \(x\) 的深度大于 \(y\)，\(x\) 一直向父亲节点跳，直到 \(x,y\) 存在于同一条链上，计算 \(x,y\) 之间的权值即可。至于如何计算权值，待会再讲。
对于问题二，那就是直接暴力扫了，不过多赘述。
树剖正是这种暴力的优化。
在介绍树剖之前，我们将不可避免地接触一些名词：
重子：设有一个节点，其所有子节点中，以子节点为根的子树节点数最大的那个子节点即为该节点的重子。
轻子：设有一个节点，其所有节点中，除重子外的节点均为轻子。
重边：某个节点与其重子的连边。
轻边：某个节点与其轻子的连边。
重链：仅由重边组成的一条链。
轻链：仅由轻边组成的一条链。
特别的，若某个点有多个重子，任选其一；若某个点不存在子节点，则不存在重子和轻子。
树剖本质上就是一种对暴力的优化，它将维护树上的一些条链各种信息。
以上面的问题为例。
我们先对每一个节点做编号，以重子优先做 dfs，新的节点编号即为 dfn。这样就可以保证重链上节点编号连续了。
当我们往上跳的时候，可以直接跳过所在重链，跳过的这一段正好编号连续，随便拿个数据结构就能维护。
操作时，若两点不在同一个重链上，则一定可以通过某种跳法使得两点并到同一条重链上。为了避免某个点跳完了而另一个点还没开始跳，我们总是希望他们深度差尽可能地小。即：总是让跳完后深度更深的那个点跳。
考虑不严谨的分析复杂度。暴力的复杂度会被链这种恶心的特殊形态卡飞，而引入重链后，会发现链上的话重链不会在这里浪费过多的时间，直接跳到分叉上面去。而跳的次数最坏是 \(O(\log n)\) 次。算上维护的数据结构的复杂度（这里默认是线段树）是 \(O(n\log n+q \log^2n)\)。
给出部分实现：
class tr_cut{
public:
int dep[1000086];//深度
int fa[1000086];//父亲节点
int sz[1000086];//子树大小
int hson[1000086];//重子
int id[1000086];//新的编号
int nw[1000086];//新的编号对应的权值
int top[1000086];//跳过所在重链后到达的位置
int point;//编号
void ini(){
memset(dep,0,sizeof dep);
memset(fa,-1,sizeof fa);
memset(sz,0,sizeof sz);
memset(hson,-1,sizeof hson);
memset(id,0,sizeof id);
memset(nw,0,sizeof nw);
memset(top,0,sizeof top);
point=0;
}
void dfs(int x,int fath){//第一次搜索，确定重子，顺手计算深度
fa[x]=fath;
dep[x]=dep[fa[x]]+1;
sz[x]=1;
int hs=0;
for(int i:e[x])
if(i!=fath){
dfs(i,x);
sz[x]+=sz[i];
if(sz[i]>sz[hs])
hson[x]=hs=i;
}
return;
}
void afs(int x,int tp){//第二次，按照重子优先编号，维护top
id[x]=++point;
nw[point]=a[x];
top[x]=tp;
if(hson[x]==-1)
return;
afs(hson[x],tp);
for(int i:e[x])
if(i!=fa[x] and i!=hson[x])
afs(i,i);
return;
}
}tr;
//封装好的树剖
顺便提一嘴，若对 \(x\) 的子树内进行修改，那么是对新编号中 \(id_x\) 到 \(id_x+sz_x-1\) 进行修改。这样考虑：以 \(x\) 为根的子树内的节点没有遍历完前不会离开该子树，而该子树内共有 \(sz_x\) 个节点，去除掉根节点即 \(id_x\) 到 \(id_x+sz_x-1\)。
写树剖要做好略大码量，花略长时间的准备
