关于 mex

最近偶遇一堆 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 题，记一些常见结论。

• 求区间 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$

首先有一个不好的莫队文明，点名批评一下，拓展性不好且难写且离线且跑的巨慢。

下面有两个求法：

1. 可持久化值域线段树

其实就是主席树求法啦，但是为了区分做法 $2$，强调值域。首先考虑转化问题，一个数 $x$ 在区间 $[l,r]$ 中出现当且仅当 $ls{t}_{r,x}\ge l$。建出值域线段树并可持久化来维护 $lst$ 数组，于是求 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 相当于在线段树上二分。码量很小。

例题：P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

qwq

    #define mid (l + r >> 1)
    struct node{
        int ls, rs, lst; 
    }hjt[N << 5];
    int cnt, root[N];
    void pushup(int o){hjt[o].lst = min(hjt[hjt[o].ls].lst, hjt[hjt[o].rs].lst);}
    void add(int pre, int& o, int l, int r, int x, int k){
    	hjt[++cnt] = hjt[pre]; o = cnt;
        if(l == r){hjt[o].lst = k; return;}
        if(x <= mid) add(hjt[pre].ls, hjt[o].ls, l, mid, x, k);
        else add(hjt[pre].rs, hjt[o].rs, mid + 1, r, x, k);
        pushup(o); 
    }
    int qrymin(int o, int l, int r, int pivot){
        if(l == r) return l;
        if(hjt[hjt[o].ls].lst < pivot) return qrymin(hjt[o].ls, l, mid, pivot);
        else return qrymin(hjt[o].rs, mid + 1, r, pivot);
    }

2. 颜色段均摊 + 可持久化线段树

这个做法非常具有拓展性和启发性。

不妨考虑扫描线，每次把右端点 $r$ 向右移动一段，然后使用线段树维护 $l=1\dots r$ 的 $[l,r]$ 的答案。不难发现 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 具有单调性，且有很多连续段。考虑颜色段均摊，将 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 相同的区间看作一个颜色段，每次加入 $x=a_r$ 就在线段树上二分找到 $[l_x,r_x]$ 这个 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}=\mathrm{x}$ 的颜色段，然后把这个颜色段 $+1$。 接着找到最右位置小于等于 $r_x$ 最右的出现位置 $p$，将颜色段分裂为 $[l_x,p],[p+1,r]$ 两个区间。然后把左边的区间 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 更新，不断重复这个过程，直到某个数没有出现。

但是时间复杂度呢？实际上这个取决于分裂的次数，相当于新建段或者和合并段的次数。注意到，每次加入一个数，只有可能使得 $[l_x,r_x]$ 分裂出来最左边的段和前面最右的段合并，即总共只会合并 $O(n)$ 次。最多新建段的个数也是 $O(n)$ 的。于是时间复杂度 $O(n\log n)$，将线段树可持久化就可以实现在线回答询问。

例题：CF1148H Holy Diver

• 极小 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 区间

我们定义一个区间 $[l,r]$ 是极小 $\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{x}$ 区间，当 $\mathrm{mex}(l,r)\ne \mathrm{mex}(l+1,r),\mathrm{mex}(l,r)\ne \mathrm{mex}(l,r-1)$。

接下来证明这样的区间只会有 $O(n)$ 个。

不妨考虑固定左端点 $l$，寻找符合条件的 $r$，那么不难发现，需要满足 $\mathrm{mex}(l+1,r)=a_l$，由于固定 $l$ 时是单调不降的，那么满足条件的我们取最左边的一个即可。固定右端点也是一样的。因此严格上界是 $2n$ 个。

构造方法很简单，不再写了。

例题：套娃