线性基小记

线性基（这里是异或线性基）是对于序列 $a_1...a_n$ 满足以下条件的一个极小集合 $\mathrm{S}$：

• $S$ 中的所有元素可以通过异或表示出 $a$ 中的所有元素。

• $S$ 在满足第一个条件的情况下，集合大小最小。

进一步的，可以推出以下性质：

• $S$ 中任意元素的异或和不等于 $0$。

• $S$ 的大小至多为 $\log max{a}_i$。

第二个性质将在插入时自然给出。

基本操作：

• 插入：假设现在要插入的数是 $x$。考虑记 $b{s}_i$ 是以第 $i$ 位为最高 $1$ 位的基底。不难发现，假如当 $x$ 遍历到第 $i$ 位时，且 $x$ 的第 $i$ 位为 $1$，该位的 $b{s}_i$ 为空，则 $x$ 无法被表出，原因是再向下遍历则无法在更改这一位。否则 $x$ 必须要异或上该位。若最后 $x$ 变为 $0$，其实就是 $x$ 已经可以被表出，跳过即可。

qwq

void ins(int x){
	for(int i = M; i >= 0; i--){
		if(!(x & (1ll << i))) continue;
		if(!bs[i]){bs[i] = x; return;}
		x ^= bs[i];
	}
}

• 查询最大值：假设现在要查询 $a$ 中选出任意个数与 $x$ 的异或最大值，从高位向低位考虑，显然后面选择的不会影响前面的，直接贪心即可。

qwq

int getmax(int x){
	int ret = x;
	for(int i = M; i >= 0; i--) ret = max(ret, ret ^ bs[i]);
	return ret;
}

• 查询第 $k$ 小的值：考虑类似于 $\mathrm{Trie}$ 上二分的做法，首先将所有的 $bs$ 变成任意两个都无交的形式，从高位向低位考虑，容易发现，假设这一位选择 $1$，则排名区间就变成了 $[1,2^{i-1}]$，否则是 $[2^{i-1}+1,2^i]$。然后二分就完了。

qwq

	void rebuild(){
		for(int i = 0; i <= M; i++){
			for(int j = i - 1; j >= 0; j--){
				if(bs[i] & (1ll << j)) bs[i] ^= bs[j];
			}
		} tot = 0;
		for(int i = 0; i <= M; i++) if(bs[i]) rbs[++tot] = i;
	}
	int kth(int x, int k){
		int ret = x;
		for(int i = tot; i >= 1; i--){
			int sz = (1ll << i - 1);
			if(k <= sz){
				if((x & (1ll << rbs[i]))) ret ^= bs[rbs[i]];
			}
			else{
				if(!(x & (1ll << rbs[i]))) ret ^= bs[rbs[i]];
				k -= sz;
			}
		} return ret;
	}

随机说话：

• 线性基具有可合并性，是 $O({\log }^{2}V)$ 的，还算可以，大概可以用线段树之类的维护？（所以是不是可以出一个线性基+猫树分治qwq）

• 如果一个数无法插入到线性基中，说明有一个子集的异或和为 $0$ （显然的qwq）

• 最大异或路径就是随便跑一个生成树，然后再走若干个环就行了。因为你不难发现，假如要使路径中包含一个环，可以走过去绕一圈原路返回，中间的都被消掉了，这样只需要加入环的贡献，于是可以直接加入进路径异或和中。如果不是原路返回，也就是说这里有两条路径从环到原路径，于是等价于再加入一个环的贡献。假如你是要走另外一条链，那么一定会和原来的路径构成一个环，于是也包含在其中了。

这里运用到一个经典的转化：两个点有两条路径相互到达 $\leftrightarrow$ 两个节点中可达的部分一定有一个环

• 假如一个线性基里面有 $n$ 个元素，可以表出的不同数的个数为 $2^n$。进一步的，假如线性基中有包含第 $i$ 位的元素，会有 $2^{n-1}$ 个可以表出的数在该位上为 $1$，剩下 $2^{n-1}$ 个在该位上为 $0$。这一点是由于可以把线性基中的元素变为两两不交的形式，然后强制选出/不选含有该位的那个元素，剩下随便选。

• 二进制题目的基本套路：高位贪心，按位统计

练习题

P4570 [BJWC2011]元素

P3292 [SCOI2016]幸运数字

P4151 [WC2011]最大XOR和路径

P5556 圣剑护符

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