斜率优化笔记

写给自己看的。

首先看到有 $i,j$ 无法分离的项的 $\mathrm{D}\mathrm{P}$ 一般就是斜率优化，像 $(s_i-s_j{)}^2$ 之类的。

首先将转移方程式写成 $b_i=y_j-k_i{x}_j$ 的形式，拍到坐标系上。那么等价于用斜率为 $k_i$ 的直线去切点，第一个切到的点是哪个，即截距最小/最大。显然切到的点在凸包上，即找到第一个凸包上的点 $q_i$ 满足 $slope(q_{i-1},q_i)\le k\le slope(q_i,q_{i+1})$ 优化方式如下：

• 如果 $x,y$ 都单调递增，那么可以直接在 $\mathrm{D}\mathrm{P}$ 过程中用单调队列维护一下凸包， $O(n)$。

• 如果 $x$ 递增的话，可以使用二分队列，$O(n\log n)$。

• 否则 $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{Q}$ 分治 或 平衡树（不推荐），$O(n{\log }^{2}n)$。

但是还有最简单粗暴的方法：即把转移方程式表示成 $y_j=k_j{x}_i+b_j$ 这样直线的形式。然后使用李超线段树优化，因为是全局加直线不用分拆区间，离散化 $x$ 即可做到 $O(n\log n)$，码量小常数小，还不用动脑子，严格偏序 $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{Q}$ 和平衡树（当然平衡树维护凸包还是很有必要学的）。